La Teoría de las Paralelas de André Tacquet

 Entre Clavius y Saccheri

 Ferran Mir Sabaté [*]

I love paralels

... one cannot study the history of mathematics in the sixteenth and seventeenth centuries without coming across Jesuits at every corner.

George Sarton 1949


Abstract:
Estudiamos la edición de los Elementa Geometriae planae ac solidae, hecha por el jesuíta Johann Andreas Tacquet en 1654 y que fue reeditada en numerosas ocasiones durante los siglos XVII y XVIII. Probablemente utilizado como libro de texto en los colegios jesuítas de la época y deudor de las ideas, tanto pedagógicas como matemáticas, de Clavius, presenta algunas novedades interesantes sobre la teoría de las paralelas, intentado eliminar de forma indirecta el problema de las rectas asintóticas que Saccheri abordará de forma directa en la Proposición 23 de su Euclides ab Omni Naevo Vindicatus de 1733.

1. Introducción

El origen de este trabajo se encuentra en un curso de Historia del Triángulo seguido en la Univeridad Autónoma de Barcelona bajo la dirección de los profesores Agustí Reventós y Carlos Julio Rodríguez. En dicho curso, se discutió la posibilidad de que existiese alguna influencia de la obra de Saccheri Nota 1 sobre la obra de Lambert Nota 2 . Como es bien conocido, ambos autores discuten las propiedades que han de tener los ángulos de un cuadrilátero, pero Lambert nunca cita a Saccheri. También sabemos que la obra de Saccheri tuvo muy escasa difusión en su época Nota 3 : la muerte de su autor el mismo año de su publicación puede ser una de sus explicaciones. La conclusión provisional fue que, en caso de que existiese dicha influencia, sólo podría darse de forma indirecta a través de la tesis doctoral de Kluegel (1763) Nota 4 , tesis que nunca ha sido traducida de su latín original, a pesar de ser citada por los autores clásicos de la historia de la geometría no euclidiana como Bonola Nota 5 o Rosenfeld Nota 6.

La primera tarea, consistía pues, en la traducción del trabajo de Kluegel. Dicho trabajo consiste en un examen riguroso de los intentos de demostración del 5º postulado euclídeo que se habían realizado hasta la fecha Nota 7 . Kluegel dedica mayor atención precisamente a Saccheri, sobre quien escribe dos capítulos enteros Nota 8 . En ellos, centra su análisis en la proposición 23 Nota 9 de Saccheri, en la que éste discute la posibilidad de existencia de dos rectas asintóticas (sin llamarlas con este nombre) Nota 10 . Ello podía dar pie a confirmar nuestra hipótesis de influencia indirecta de Saccheri sobre Lambert, ya que sabemos que Lambert conoció a finales de los 50's a Abraham Kaestner Nota 11 (director de la tesis de Kluegel) y solicitó infructuosamente una plaza de profesor en la Universidad de Goettingen donde estudiaba el propio Kluegel.

No obstante, la traducción de la tesis de Kluegel abrió otras perspectivas investigadoras: ¿quiénes eran y qué habían dicho exactamente los 24 autores estudiados por Kluegel? Al margen de matemáticos reconocidos (como Wallis, Saccheri, Nasir al-Din al-Tusí, Clavius o Kaestner) Kluegel estudia la obra de un nutrido grupo de matemáticos, físicos o filósofos menos conocidos, siempre en torno al tema de las paralelas Nota 12 . Entre ellos, existe una nutrida representación de autores jesuítas: Clavius, Tacquet, Pardies y Boscovich. Ello nos ha conducido al estudio de la relación de la enseñanza jesuíta con el desarrollo de las matemáticas y, más concretamente, con la evolución de la teoría de las paralelas durante los siglos XVI y XVII. El campo investigador de la influencia de los jesuítas en el desarrollo de las matemáticas ha recibido, en los últimos años, un buen número de trabajos Nota 13 . Pero no existe ninguno dedicado específicamente a la obra de André Tacquet, a pesar de que la amplia difusión de su obra durante los siglos XVII y XVIII es citada por numerosos autores.

Por ello, hemos centrado nuestro trabajo en la obra de André Tacquet como puente intermedio entre Clavius y Saccheri en la teoria de las paralelas. En los próximos capítulos trataremos los siguientes temas: en el capítulo 2) mostraremos las líneas generales de la enseñanza jesuítica de la época y del papel de las matemáticas en su diseño curricular, en el capítulo 3) veremos como el texto de Euclides se erige en texto central para la geometría y cómo es editado por Clavius y Tacquet respectivamente, en el capítulo 4) centraremos nuestra atención en el problema de las paralelas en ambos textos, para finalizar en el capítulo 5) con la idea nueva de Saccheri.

Antes de finalizar esta introducción, debo agradecer la atención prestada a este trabajo por los profesores de la Universidad de Barcelona Josep Pla i Carrera, sin cuya guía y conocimiento histórico de las matemáticas no habría sido posible este trabajo, y Esperança Borrell i Vidal, cuya dedicación y conocimiento del latín han hecho posible establecer una traducción de la tesis de Kluegel. En este aspecto, también he recibido un notable apoyo de Carolina Altolaguirre, quien ha traducido extensas partes de la obra de Tacquet. También debo agradecer a Agustí Reventós y Carlos Julio Rodríguez algunas insinuaciones y comentarios que, sin duda, han ayudado a la materialización de mis propias ideas. No obstante, todos los errores o malas interpretaciones que puedan existir, son responsabilidad exclusivamente mía.

2. Jesuítas: la Contra Reforma matemática

La influencia de la Compañía de Jesús en el renacimiento de los estudios de matemáticas durante los siglos XVI y XVII es innegable. Desde sus primeros inicios, compañeros de Ignacio de Loyola como Jerónimo Nadal (1507-1580) o Baltasar Torres (?-1563) Nota 14 plantearon la necesidad de las matemáticas como ciencia soporte de la filosofía natural. Para los jesuítas, el empirismo aristotélico necesitaba una base racional que era proporcionada por las matemáticas. Por eso participaron activamente en el debate sobre la quæstio de certitudine mathematicarum Nota 15 . Este debate, iniciado con las obras de Piccolomini (1547) y Barozzi Nota 16 (1560), se desarrolló durante la segunda mitad del siglo XVI y todo el XVII. Los temas que se hallaban en cuestión eran básicamente dos:

Conviene señalar que tampoco existió unidad de criterios en esta polémica entre los propios profesores del Collegio Romano: así, la postura de Cristophorus Clavius será radicalmente distinta de la de Benito Pereyra (1535-1610) Nota 17 , profesor de Filosofía Natural, quien defendía el carácter aristotélicamente no científico de las matemáticas.

Pero quizá la aportación más original de la Compañía estuvo en el campo de la enseñanza. Durante los siglos anteriores, los centros de cultura se habían ido trasladando desde los monasterios a las ciudades, pero las universidades seguían, en buena parte, ancladas en los programas de estudio medievales (trivium y quadrivium) Nota 18 . La joven orden religiosa, mediante la creación de colegios Nota 19 , urbanos casi en su totalidad, tendrá una influencia decisiva en los cambios pedagógicos de la época, en general, y en el cambio en la enseñanza de las matemáticas, en particular.

En este último aspecto, el Collegio Romano Nota 20 , fundado en 1551, desempeñó un papel trascendental. En 1553 suceden dos hechos independientes pero significativos: el envío a Ignacio por parte del rector del Collegio Romano, Martín de Olave, de un primer borrador de plan de estudios y el nombramiento del primer profesor de matemáticas del colegio: Baltasar Torres, quien permanecerá en dicho puesto hasta su muerte en 1563. En los años anteriores, Jerónimo Nadal, desde el Colegio de Messina, ya había impreso un programa de estudio de las matemáticas en el que las dividía en cuatro partes: geometría, aritmética, astrolabio y astronomía Nota 21 con cuatro autores de referencia para cada una de ellas: Euclides, Oronce Finé, Johannes Stoefler y Georg Peurbach, respectivamente.

A partir de 1560, bajo la dirección de Diego de Ledesma, un grupo de profesores del Collegio Romano, inician la redacción de un plan de estudios con la voluntad de que se aplique en todos los colegios de la Orden. El sucesor de Baltasar Torres, Cristophorus Clavius (1538-1612) no participará directamente en este grupo de trabajo, sino que se limitará a escribir documentos sobre la enseñanza de las matemáticas Nota 22 , que ejercerán notable influencia sobre los trabajos de este grupo Nota 23 .

El resultado de dichos trabajos será la Ratio Studiorum, aprobada el 8 de enero de 1599, aunque tendrá ligeros retoques en 1615. No obstante, existen dos borradores anteriores, de 1586 y 1591, para su discusión en los diferentes estamentos de la Orden. Precisamente, los documentos de Clavius en defensa de la enseñanza de las matemáticas son de esta época, pudiéndose fechar en los años ochenta y principios de los noventa. En ellos, Clavius insiste en tres aspectos básicos:

El borrador de 1586 Nota 24 contiene una verdadera apología de las matemáticas. Apoyándose en una mención a la disciplina existente en las Constituciones de Ignacio de Loyola Nota 25 , empieza diciendo que no puede privarse a ninguna escuela de esta enseñanza porque en las más célebres academias, las matemáticas tienen siempre su lugar e, incluso a veces, el más relevante. Y todavía más, porque las otras ciencias necesitan mucho la ayuda de las matemáticas. Y para ilustrarlo dice que las matemáticas suministran ayuda a los poetas (sobre la salida y ocaso de los astros), a los historiadores (sobre la forma y distancia de los lugares), a los filósofos (sobre ejemplos de demostraciones sólidas), a los políticos (sobre la forma de administrar bien los asuntos civiles y militares), a los físicos (sobre la forma y la diversidad de las revoluciones celestes, de la luz, de los colores, del medio transparente y del sonido), a los metafísicos (sobre el número de esferas y de inteligencias), a los teólogos (sobre la mayor parte de la obra divina), a la ley y a la liturgía (sobre la contabilización del tiempo); todo ello sin tener en cuenta los beneficios que de ellas se derivan en la cura de enfermedades, en los viajes marinos y en la actividad agrícola. Por ello, demanda un esfuerzo de la Compañía para que las matemáticas "florezcan en nuestras escuelas como las demás disciplinas". A continuación, reconoce la carencia de profesores preparados, incluso en Roma ("con la excepción de uno o quizás dos"), para enseñar matemáticas con solvencia o para instruir a la Sede Apostólica sobre el calendario Nota 26 . Des-pués de exponer esta situación, en el segundo párrafo apunta las propuestas para mejorar la situación de la disciplina. Dotar al Collegio Romano de dos profesores: uno que exponga la asignatura, basándose fundamentalmente en Euclides y en los Analíticos Posteriores, y otro ("que sólo puede ser el padre Clavius") que únicamente tendrá 8 o 10 alumnos de los "nuestros", de varias procedencias y que ya conozcan la filosofía, para que les enseñe matemáticas en profundidad Nota 27 y al finalizar sus estudios de tres años puedan volver a sus lugares de procedencia para enseñar allí esta disciplina.

En otra versión del mismo borrador de 1586 se llega al detalle de explicar como hacer las clases recopilatorias de los sábados, haciendo que los alumnos se interroguen entre ellos de la siguiente forma: "Repite la proposición. ¿Cómo se demuestra? ¿Puede demostrarse de otra manera? ¿Qué utilidad tiene para las artes o para la vida común?". Esta segunda versión insiste con mayor urgencia en la creación de la academia de profesores de Clavius Nota 28 .

El segundo borrador de 1591 y el documento finalmente aprobado en 1599 por el general Acquaviva, son mucho menos radicales. En ambos de- saparece la apología de la disciplina y se reducen los tiempos de dedicación y el número de estudiantes académicos. A pesar de que en el documento finalmente aprobado no se dice nada respecto a la creación de la Academia de Matemáticas en el Collegio Romano, parece evidente que Clavius actuó como formador de profesores de matemáticas aunque no se crease formalmente dicha academia. Ello está acreditado por el buen número de matemáticos formados en esos años en el Collegio Romano que ejercieron su magisterio en otros lugares Nota 29 . Al ya citado Mateo Ricci (1552-1610), quien introdujo Euclides en China, pueden añadirse Christopher Grienberger (1564-1636) continuador de Clavius en el Collegio Romano, Paul Guldin (1577-1643) enseñante en Viena y Graz, Christopher Scheiner (1575-1650) que enseñó en Alemania y mantuvo una larga controversia con Kepler sobre Óptica, Juan Bautista Villalpando (1552-1608) más conocido como arquitecto aplicando en este arte la geometría, Gregorio de St. Vincent (1584-1667), profesor en el poderoso colegio de Lovaina, etc. Esta colección de profesores se fue extendiendo por toda Europa como un mancha de aceite.

Precisamente una muestra de esta mancha de aceite reside en la formación de Jean André Tacquet (1612-1660) Nota 30 . El profesor de Tacquet en Lovaina durante los cursos de 1633/34 y 1634/35 fue Guillaume Boelmans (1603-1638) quien, a su vez, había sido discípulo del ya mencionado Gregorio St. Vincent, discípulo directo de Clavius en Roma Nota 31 . Conviene reseñar que, a pesar de que St. Vincent es más conocido por sus aportaciones al cálculo Nota 32 , tiene también una extensísima obra geométrica: el Opus Geometricum posthumum que, como su nombre indica fue publicado, una vez muerto el autor, en 1668. Del análisis de los manuscritos de St. Vincent, parece acreditada la participación de Boelmans en dicha edición Nota 33 . Por todo ello, la formación matemática (y geométrica en particular) de Tacquet fue considerable.

3. Los Elementos de Euclides: base para la geometría

Nuestra atención se centra en la geometría de los siglos XVI y XVII, que, al contrario del álgebra Nota 34 , no fue un área innovadora. El objetivo de los geómetras de la época, jesuítas o no, era la restauración del conocimiento griego que se había perdido durante la Edad Media Nota 35 . Desde finales del siglo XIII, el texto clásico de los Elementos había sido la traducción de Campanus de Novara procedente de fuentes árabes y que fue el primer libro de geometría que se dió a la imprenta en 1482. La primera traducción directa de fuentes griegas hecha por Bartolomeo Zamberto se publica en 1505 en Venecia y la edición princeps de Simon Grynnaeus (en griego original) se publicó en 1533. Conjuntamente con esta edición, Grynnaeus incluyó el extenso Comentario al libro 1º de los Elementos de Proclo (411-485), que contenía interesantes reflexiones metamatemáticas desde un punto de vista platónico. Tal fue el interés de este comentario que fue traducido al latín por Francesco Barozzi y publicado en 1560. En 1572 aparece una nueva traducción comentada de los Elementos, la de Federico Commandino (1506-1575) por encargo del Duque de Urbino Nota 36 .

La edición de Clavius

La edición de Clavius de los Elementos (1574) obedece al sentido académico que tenía el autor de su trabajo en el Collegio Romano. Es muy probable que su fuente original fuera la traducción de Bartolomeo Zamberto (edición bi-lingüe de 1510) que Oronce Finé (1494-1555) había editado en París y que fue publicada al menos en tres ocasiones en vida de Finé (1536, 1544 y 1551) Nota 37 . Prueba de ello es que Clavius inicia su edición con 36 definiciones Nota 38 que, son plenamente coincidentes (salvo cambios retóricos) con las 35 definiciones de la edición de Finé, salvo unas pocas excepciones:

No obstante, esta correlación se pierde, al menos en parte, en los postulados y nociones comunes: Mientras Finé introduce los cinco postulados tal como los conocemos hoy en día Nota 40 , Clavius sólo introduce los tres primeros (regla y compás) añadiendo un cuarto que más bien tiene apariencia de noción común: "A cualquier magnitud dada, se le puede añadir otra magnitud, tanto mayor como menor" Nota 41 . Algo similar sucede con las nociones comunes: Ambos autores coinciden en las diez primeras Nota 42 , aunque Finé es más parco en su texto, pero Clavius añade diez más hasta llegar a las veinte. De hecho, las nociones comunes 12 y 13 de Clavius son los postulados 4 y 5 de Finé (y de Heiberg). Ambos autores introducen la NC 5 a todas luces innecesaria Nota 43 ya que puede deducirse de las restantes. Conviene, pues, repasar las adiciones de Clavius:

La organización de postulados y nociones comunes de ambos autores, no obedece a la idea euclídea de separar los principios lógicos genéricos (nociones comunes o axiomas) de los puramente geométricos (postulados) ya que tanto uno como otro, después de introducir las nueve nociones comunes tradicionales Nota 48 , agregan axiomas que son puramente geométricos: en Clavius las NC 10, 11, 12, 13 y 14 y en Finé la NC 10.

Otra similitud entre ambos textos es la división de las proposiciones entre "problemas" y "teoremas" Nota 49 : Mientras los primeros son tan sólo instrucciones de construcción (al final de las cuales hay que demostrar que lo construido es lo solicitado), los segundos son puras demostraciones que establecen verdades matemáticas como las de los axiomas o postulados, tal como explican ambos autores al finalizar la exposición de las Nociones Comunes Nota 50 . Así, por ejemplo, las proposiciones 1 y 2 Nota 51 son consideradas y numeradas como "pro-blema", mientras que las proposiciones 4 y 5 Nota 52 son consideradas "teorema". Ambos autores siguen, pues, una doble numeración: la de las proposiciones (idéntica a la de la edición Heiberg) y la de problemas o teoremas Nota 53 : de esta forma, por ejemplo, las 48 proposiciones del libro primero se agrupan en 14 problemas y 34 teoremas, coincidentes en ambos autores. Esta doble numeración ya había sido usada por Proclo en su Comentario al Libro Primero, plenamente coincidente con las de Finé y Clavius.

Un estudio pormenorizado del Libro Primero nos indica que Clavius no se conforma con los comentarios de Finé, sino que los amplía y enriquece con nuevas reflexiones: su finalidad, aunque no abiertamente expresada, es la de escribir un libro que sirva como guía a los profesores de matemáticas que debían formarse en el Collegio Romano, para luego enseñar matemáticas en todos los colegios de la Orden. Así, muchas proposiciones se enriquecen con escolios y corolarios inexistentes en las obras anteriores; con observaciones de carácter práctico para resolver problemas constructivos; también añade Clavius comentarios y demostraciones alternativas de Apolonio Nota 54 , de Eudemo Nota 55 , de Filón Nota 56 , de Herón Nota 57 , de Menelao Nota 58 , de Nicomedes Nota 59 , de Proclo Nota 60 , de Pelletier Nota 61 , de Pitágoras Nota 62 , de Porfirio Nota 63 , de Teón Nota 64 , de Vitrubio Nota 65 , de Platón Nota 66 , de Campanus Nota 67 o de Pappus Nota 68 . Para hacerse una idea de la cantidad de añadidos de Clavius, basta con constatar que el Libro Primero ocupa en la edición de Finé 53 páginas Nota 69 mientras que la edición de Clavius ocupa 69 Nota 70 y ello sin tener en cuenta de que, a pesar de estar impresos ambos libros "in quarto", la tipografía utilizada en la edición de Clavius es mucho más pequeña, admitiendo más de 700 palabras por página, mientras que la de Finé no admite más de 400, incluyendo además el enunciado en griego de cada proposición. Es decir, más del doble de palabras en Clavius que en Finé para un solo libro. Ello nos indica la vastedad de los conocimientos puestos en juego por Clavius en su edición.

Es muy probable que Clavius tuviera la intención de escribir un libro de características parecidas para cada una de las ramas de las matemáticas Nota 71 y, quizá por ello, incluyó en éste un Prolegomena sobre las disciplinas matemáticas. Este Prolegomena resulta bastante interesante y es una lástima que no haya sido traducido en su integridad; se extiende a través de siete páginas Nota 72 y se divide en nueve apartados cuyos títulos son:

  1. ¿Por qué se llaman así las Disciplinas Matemáticas?

  2. División de las Disciplinas Matemáticas.

  3. Inventores de las Disciplinas Matemáticas.

  4. Nobleza y prestancia de las Ciencias Matemáticas.

  5. De la varias utilidades de las Disciplinas Matemáticas.

  6. Excelencia de Euclides y de la Geometría.

  7. División de la Geometría y de los Elementos de Euclides.

  8. Qué es un problema, qué un Teorema, qué una Proposición y qué un Lemma entre los matemáticos.

  9. Qué son los Principios entre los matemáticos Nota 73 .

Clavius no entra directamente en la quæstio, pero no deja de citar a Barozzi Nota 74 , quien había defendido que las matemáticas tenían un estatus intermedio entre la sensación y el intelecto, por lo que debían ser consideradas como la primera de las ciencias, ya que ejercían una función mediadora entre la física y la metafísica. En este sentido es clara la influencia del Comentario de Proclo Nota 75 al libro primero de los Elementos. Como se puede comprobar por los enunciados de las distintas partes del prolegomena, Clavius refleja en los mismos las principales inquietudes que los jesuítas van a introducir en su sistema educativo: la preminencia de la geometría, la inclusión de la astronomía, el sentido utilitario de la matemática, la necesidad de su conocimiento para otras disciplinas (fundamentalmente para la filosofía natural), etc. Pero no sólo eso, sino que está haciendo una defensa cerrada del uso de las matemáticas en el estudio de la naturaleza: Como puede verse, los últimos cuatro apartados están dedicados a la Geometría en particular. Clavius intenta demostrar que los elementos de la geometría son las partes elementales de las que están compuestas todas las realidades corporales.

La edición de Tacquet

Pertenece a una extendida tradición de divulgación de la obra euclídea mediante manuales y libros de texto de uso escolar. Esta tradición ya había nacido en el siglo XVI con autores como Flussatus Candalla (François de Foix, Comte de Candale, 1502-1594), el propio Oronce Finé (1494-1555), Johannes Buteo (1492?-1564,1572?), Jacques Peletier (1517-1582), etc., pero en el siglo XVII adquiere forma definitiva. Las obras inscritas en esta tradición tienen algunas características comunes: reducción de las demostraciones, eliminación de proposiciones (incluso de libros enteros) e introducción de símbolos para facilitar la comprensión. No obstante, algunos de ellos incluyen algunas creaciones nuevas. Durante el siglo XVII (además de la estudiada) pueden citarse obras de Isaac Barrow (1630-1677), del jesuíta Claude-François Milliet de Chales (1621-1678) en lengua francesa con innumerables ediciones y cubriendo los mismos libros que Tacquet, del también jesuíta Gaston Ignace Pardies (1636-1673) en lengua francesa y otras Nota 76 .

El libro de Tacquet es una muestra perfecta de esta tradición con más de treinta ediciones durante el siglo XVIII. Sólo contiene los libros I-VI y XI-XII de los Elementos originales, pero incluye material adicional de Arquímedes. Sus demostraciones son compendios, pero añade abundantes corolarios y escolios muy útiles desde el punto de vista pedagógico Esta obra se distingue de las de su misma tradición por su orden y claridad. Al contrario que la edición de Clavius, se trata de un libro destinado a ser usado como manual por los alumnos de los colegios jesuitas.

Su planteamiento es netamente euclídeo partiendo de definiciones, postulados y axiomas (nociones comunes). Sin embargo, su contenido y ordenación tienen características propias que lo distinguen tanto de la edición canónica de Heiberg como de la edición de Clavius. Sumariamente pueden exponerse las siguientes (siguiendo la numeración Heiberg):

Esta reorganización de los principios tiene al menos dos aspectos reseñables: la introducción del movimiento de las figuras geométricas y la preocupación por el postulado de las paralelas. Respecto a la primera cabe señalar que Euclides había sido muy cuidadoso con el tema del movimiento y lo excluye totalmente de su modelo Nota 82 ; por ello incluye el 4º postulado que le evita tener que demostrar la congruencia de los ángulos rectos mediante una traslación. Este cuidado ya se había relajado con Clavius, quien, manteniendo las ideas euclídeas, nos habla en el excurso de la Definición 2 del movimiento (motu imaginario) de los puntos para formar una línea, "quam puncti fluxum" Nota 83 . Sobre esto, hay que tener presente que quizá la idea griega de movimiento no es totalmente coincidente con nuestra idea actual: para los griegos, el movimiento podía ser muchas cosas (incluso la corrupción y la generación) y, de ello, se deriva el cuidado euclídeo para evitar su irrupción en la geometría. Precaución que se irá desvaneciendo con el tiempo, al reservarse la noción de movimiento a algo puramente mecánico. Esta relajación, obliga a introducir principios de congruencia, como los que añade Tacquet a continuación de la Definición 8 sobre igualdad y desigualdad de los ángulos.

Numerosos ejemplares de la obra se encuentran por bibliotecas de toda Europa y de ellos hemos establecido que, como mínimo, el libro fue editado en los lugares y las fechas que se citan:

Lugar Editor Fechas Num.edic.
Amberes Jacobum Meursium 1654, 1665, 1672 3
Padua Pietro M. Frambotti 1674 1
Amsterdam Heynrich Wetstein 1683 1
Padua Tipografía del seminario 1691, 1694, 1721 3
Amsterdam Franciscum van der Plaat 1701 1
Cambridge Cornelius Crownfield 1703, 1710, 1712 3
Londres W. y J. Marshall 1705 1
Londres Nota 84 Roberts, Senex y Maxwell 1714 1
Londres Senex y Taylor 1719 1
Amsterdam P. de Coup 1725 1
Dublin S. Fuller 1728 1
Padua Giovanni Manfré 1729, 1738, 1751, 6
1754, 1772, 1783.
Wirceburg J.J.C. Kleyer 1740 1
Milán Francesco Agnelli 1741 1
Nápoles Giuseppe A. Elia 1744, 1784 2
Roma Monaldini y Mainardi 1745 1
Venecia Joseph Bertella 1746 1
Londres Ynnis, Longman, Shewell 1747 1
Venecia Remondini 1756, 1762 2
Dublín I. Jackson 1772 1
Venecia Bassani 1781 1
Dublín W. McKenzie 1785 1
Padua Conzati 1789, 1801 2
Viena Georgiu Vendote 1805 1

Lo cual hace un total de no menos de 38 ediciones que se extienden desde la primera edición de 1654, hasta la última (en griego moderno) de 1805. Curiosamente, no existe ninguna edición hecha ni en Francia ni en España, sin embargo las bibliotecas francesas y españolas conservan numerosos ejemplares de este texto Nota 85 .

4. El problema de las paralelas en Clavius y en Tacquet

Como es conocido, Euclides no utiliza el 5º Postulado hasta la proposición 28 del Libro Primero Nota 86. Este postulado ya debió ser debatido en la Grecia clásica, aunque no han llegado hasta nosotros estos debates; la prueba de ello es que el mismo Proclo propone una demostración de este postulado, recogida por Clavius en el escolio a la Proposición 28 Nota 87 . Es natural que pudiera suscitar dudas, ante una redacción tan larga en contraposición a los cuatro anteriores, breves y claros y en contraposición, también, a otras proposiciones que son demostradas y que son incluso más obvias Nota 88.

En un anexo se detallan las exposiciones de Clavius y Tacquet del conjunto del Libro Primero comparadas con el texto canónico de Euclides, para facilitar la comprensión de las ideas de cada uno de los autores.

Clavius, en primer lugar, recoge y explica correctamente la demostración de Proclo Nota 89 , que está basada en la siguiente premisa: "Si dos rectas que forman un ángulo se prolongan infinitamente, la distancia entre ambas excederá cualquier magnitud dada". No obstante, Clavius expresa su escepticismo sobre esta fórmula diciendo que Proclo necesita esta premisa pero, por otra parte, "Aristóteles ya ha demostrado que el mundo no es infinito en el Libro Primero del De caelo". Naturalmente, Clavius no puede aceptar el plato-nismo extremo de Proclo Nota 90 que le permite aceptar alguna idea de infinito en sentido actual Nota 91 .

Por eso Clavius busca una demostración alternativa basada en la equidistancia y establece también una premisa de la que dependerá toda la demostra-ción: "La línea cuya totalidad de puntos equidistan de una recta existente en el mismo plano, es recta" Nota 92 . Clavius, sin pretender demostrarlo, da una larga explicación y acaba diciendo que "es claro como la luz del día", que "ninguna mente sana puede negarlo" y que "es mucho más facil de asentir que el axioma 13 de Euclides" (5º postulado) Nota 93 . Lo que no se entiende es porqué no lo ha incluido entre los postulados si cumple todas estas condiciones. Los lemas que pone a continuación son consecuencia más o menos directa de este postulado:

Vemos, pues, que lo que ha hecho Clavius ha sido sustituir un postulado por otro equivalente.

Algo parecido hace Tacquet, con la única salvedad de que, consistentemente, incluye los dos postulados sustitutivos entre las Nociones Comunes Nota 99 . Se trata de las Nociones Comunes 11 y 12 que ya hemos señalado ante-riormente. Con ellos, al acabar la demostración de la proposición 31, puede demostrar el 5º Postulado de la siguiente manera:


Figure

Demostración

Sean las rectas $\overline{ad}$ y $\overline{bc}$. Por hipótesis, la suma de los ángulos $\widehat{cba}$ y $\widehat{dab}$ es menor a dos rectos.

Construimos la recta $\overline{ax}$ paralela a $\overline{bc}$ (por P31).

Entonces, MATH (por P29).

Asumiendo que $\overline{ax}$ y $\overline{ad}$ pueden prolongarse hasta el infinito Nota 100 , construi-mos una paralela a $\overline{ab}$ en el punto $x$ (por P31), de tal forma que sea mayor que $\overline{ab}$. Sea $\overline{xz}$. ¿No está presuponiendo aquí el mismo postulado que propone Proclo? O sea, que $\overline{xz}$ puede ser tan grande como queramos.

Tomemos, en la prolongación de $\overline{ab}$, $\overline{ar}$ igual a $\overline{xz}$. Unamos los dos puntos con una recta $\overline{rz}$.

Como que $\overline{ar}$ y $\overline{xz}$ son paralelas por construcción, entonces $\widehat{xza}$ y $\widehat{raz}$ son iguales (por P27). También serán iguales $\widehat{rza}$ y $\widehat{zax}$.(por P4)

Entonces $\overline{rz}$ es paralela a $\overline{ax}$ (por P28). Y $\overline{rz}$ también es paralela a $\overline{bc}$ (por P30).

Como que $\overline{bc}$ está en el interior del triángulo $\overbrace{arz}$ y es paralela a uno de sus lados $\overline{rz}$, entonces necesariamente deberá intersectar a $\overline{az}$, porque no puede escaparse de la paralela $\overline{rz}$, ni llegar a $a$ (por NC14). C.Q.D.

El uso de las NC 11 y 12 es indirecto, ya que las ha utilizado en la demostración de la P27 Nota 101 y usa esta proposición en la demostración de las proposiciones siguientes que son necesarias, todas y cada una de ellas, para esta demostración.

5. La idea de Saccheri

Al contrario que sus predecesores, el libro de Saccheri no es una edición de los Elementos. Está referido a ellos, naturalmente, pero ni glosa, ni comenta las proposiciones del primer libro de Euclides, sino que establece nuevas proposiciones, negando el 5º postulado con el fin de llegar a una contradicción. Y, con ello, demostrarlo. Los únicos matemáticos, a parte de Euclides, a los que hace referencia son Clavius Nota 102 , Proclo Nota 103 , Borelli Nota 104 , Nasir al-Din al-Tusí Nota 105 , John Wallis Nota 106 y Tales Nota 107 . No se trata, por tanto, de un libro que pretenda polemizar con las demostraciones anteriores, sino que su pretension es establecer la demostración definitiva.

En el prefacio, dice que Euclides no utiliza el postulado hasta la proposición 29, por lo que se debe estimar que las proposiciones anteriores son independientes del mismo. Por ello, en su demostración utilizará todas las definiciones, postulados y nociones comunes de Euclides (excepto el 5º postulado) más todos los teoremas de las proposiciones 1 a 26 excepto las proposiciones 16 y 17 Nota 108 . ¿Cual es el motivo de esta restricción? Ya hemos visto que Proclo, en su demostración, no tiene ningún reparo en establecer un postulado que de alguna forma apela al infinito: la distancia entre los lados de un ángulo agudo puede llegar a ser más grande que cualquier magnitud dada. Sin embargo Clavius y Tacquet, con sus postulados, pretenden devolver el pro-blema al ámbito de lo local, de lo determinado, de lo finito. Saccheri intuye que ello no es posible; no en vano han pasado casi cien años de progreso en matemática infinitesimal. Entonces, no puede aceptar proposiciones que, de alguna manera, dependen de la noción de infinito.

El libro está dividido en dos partes: en la primera (proposiciones 1 a 33) nos dice que demostrará el 5º postulado sin acudir a ninguna petición de principio como han hecho sus antecesores y, en la segunda (proposiciones 34 a 39), demostrará que la línea cuyos puntos son todos equidistantes de una recta dada, sólo puede ser una recta.

No detallamos el procedimiento de Saccheri por suficientemente conocido (construcción del cuadrilátero y discusión de la naturaleza de los ángulos en los vértices). Tan sólo nos limitamos a destacar que, a partir de la proposición 23 Nota 109 , Saccheri estará analizando la posibilidad de existencia de rectas asintóticas (aunque nunca las llamará por ese nombre). Desde dicha proposición hasta el final de la primera parte, es donde reside la parte más interesante del libro, ya que, sin saberlo, demuestra algunos teoremas de la geometría no euclídea. Como anexo, también reproducimos abreviadamente la proposición 33, con la que Saccheri se da por satisfecho y cree haber demostrado el 5º postulado.

6. Conclusión

Como ya hemos dicho, los siglos XVI y XVII no son una etapa creativa en el campo de la geometría, sobre todo si lo comparamos con los avances que se registrarán en álgebra y en análisis. Sin embargo, lo que si existirá durante este periodo serán dos aspectos que serán fundamentales en los desarrollos posteriores: la recuparación de los textos clásicos griegos (al menos, de los que habían sobrevivido) y la difusión de los mismos. Ello significará la aparición de un pensamiento espacial concreto, útil para las otras ciencias y para la tecnología.

Hemos visto que el papel de los jesuítas en este segundo aspecto fue trascendental. Por ello no es de extrañar la abundante producción geométrica procedente de sus filas, que, aunque tenga escasa originalidad, tendrá unos efectos didácticos y propedéuticos de gran alcance.

También sabemos que dentro de toda esta producción, jesuítica o no, siempre existió una preocupación por el tema de las paralelas: en definitiva la única invocación al infinito que hay en Euclides es, precisamente, la definición de paralela. Preocupación que continuará, más acentuada, durante el siglo XVIII, pero de la que sólo se obtendrán analogías, balbuceos, ideas inconexas. No obstante, todas ellas tendrán su importancia en el desarrollo posterior.

Toda esta preocupación, no cristalizará en nuevos desarrollos hasta el siglo XIX con Boliay, Lobachevski, Taurinus, Gauss y, sobre todo, Riemann. Pero esto es ya otra historia.

 
[*] Ferrán Mir Sabaté es Licenciado en Ciencias Económicas por la Universidad de Barcelona, Licenciado en Filosofía por la UNED y DEA en Historia de las Ciencias (Especialidad Matemáticas) por la UB.

Referencias bibliográficas:


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