Nota 1

[Saccheri 1733]


Nota 2

[Lambert 1786]. Este texto fue escrito en 1766 aunque no se pùblicó hasta 1786 cuando su autor ya había fallecido. También se ha reeditado ex novo en [Engel-Stackel pp. 137-207]. Para un exámen de la obra de Lambert ver [Basso 1999 pp. 114 y ss. y 248]. También debo agradecer a Carlos Julio Rodríguez que me haya permitido ver sus escritos en prensa sobre Lambert.


Nota 3

Al menos, los historiadores de las matemáticas de la época no se hacen eco de esta obra: [Montucla 1798] ni siquiera lo cita y [Heilbronner 1742] tan sólo lo relaciona dentro de una lista de libros de geometría elemental.


Nota 4

[Kluegel 1763]


Nota 5

Bonola 1955


Nota 6

Rozenfeld 1988


Nota 7

La traducción de la tesis ha sido realizada por la profesora titular de Filologia Latina de la UB, Esperança Borrell i Vidal y se encuentra pendiente de publicación.


Nota 8

Ningún otro autor merece para Kluegel más de un capítulo y muchos de ellos son tratados conjuntamente en un solo capítulo.


Nota 9

Ver [Dou 1992].


Nota 10

Se trata del conocido cuadrilátero se Saccheri bajo la hipótesis del ángulo agudo.


Nota 11

Está documentada la correspondencia entre Kaestner y Lambert en el periodo 1757-1775 (salvo la interrupción 1761-1764 por motivos bélicos). Ver [Basso 1999 pp. 237-240].


Nota 12

Entre ellos existen algunos de los que carecemos, todavía hoy, de noticia alguna como Friedrich Gottlob Hanke o Friedrich Daniel Behn (aunque sus tesis doctorales de 1751 y 1761, respectivamente, todavía se encuentra en la biblioteca de la Universidad de Goettingen).


Nota 13

Quizá los puntos de partida de este interés sean: a) el libro de Wallace [Wallace 1984] en el que se analiza la influencia jesuítica en Galileo y b) el extenso artículo de Crombie y Carugo en el que se estudian los escritos de juventud (Juvenilia) de Galileo [Carugo-Crombie 1983], concluyendo que la fuente de los mismos fueron tres profesores del Collegio Romano (Pereira, Toledo y Clavius). Después de estas obras seminales, se han publicado tanto textos de carácter general sobre la ciencia jesuítica ([Dear 1987], [MacDonnell 1989], [Wallace 1991], [Mancosu 1992], [Baldini 1992], [Dear 1995], [Mancosu 1996], [Julia 1996], [Romano 1999], [Udias 2000], [Brizzi 2001], [Smolarski 2002], [Smolarski 2002-1], [Feingold 2003], [Romano 2004]), como textos centrados en el estudio de personajes o instituciones jesuítas concretos ([Wilks 1990, sobre Clavius], [Dhombres 1993, sobre St. Vincent], [Giard 1993, sobre el Collegio Romano], [Meskens 1994, sobre St. Vincent], [Kessler 1995, sobre Clavius], [Knobloch 1998, sobre Clavius], [Blum 2006, sobre Pereira], [Gatto 2006, sobre Clavius]).


Nota 14

Ambos personajes han sido estudiados por Antonella Romano [Romano 1999, pp. 71-83]. Sobre la influencia del matemático Francesco Maurolico sobre el colegio jesuíta de Messina y sobre Jerónimo Nadal pueden verse también [Scaduto 1948] y [Scaduto 1949].


Nota 15

Un desarrollo breve del tema puede encontrarse en [Mancosu 1996, pp. 10-33]. Para un detalle más amplio ver [DePace 1993], libro dedicado en su totalidad al tema. Giacobbe ha dedicado una serie de artículos [Giacobbe 1972-1], [Giacobbe 1972-2], [Giacobbe 1973], [Giacobbe 1976] y [Giacobbe 1977] a cada uno de los autores destacados en la polémica (Piccolomini, Barozzi, Catena, Biancani y Pereyra, respectivamente).


Nota 16

Francesco Barozzi (1537-1604) fue profesor en la Universidad de Padua, uno de los focos del platonismo renacentista. En 1560 publicó un opúsculo sobre el tema. Ver [Giacobbe 1972-2] para un análisis de su contenido.


Nota 17

Benito Pereyra (1535-1610) fue profesor de Filosofía Natural (Física) durante los cursos de 1554-55, 1558-59, 1562-63 y 1565-66. Pero también lo fue de Metafísica (1559-61, 1563-64 y 1566-67), de Lógica (1561-62 y 1564-65), de Sagradas Escrituras (1576-90 y 1596-97) y de Teología (1567-70 y 1586-87) [Garcia Villoslada 1954, pp. 323, 327, 329 y 331]. Giacobbe [Giacobbe 1977, pp. 53] afirma que también fue profesor de Retórica pero en el elenco de profesores del Collegio Romano de García Villoslada [Garcia Villoslada 1954, pp. 322-336] no figura como tal. La figura de este valenciano ha sido poco estudiada; tanto es así, que su nombre y apellidos han sufrido bastantes deformaciones, siendo citado por los nombres de Benito, Benoft, Benet, Benedictus y por los apellidos de Pereyra, Pereira, Perera, Pererius. Recientemente se ha publicado un artículo sobre este personaje [Blum 2006].


Nota 18

El proceso de cambio experimentado en la enseñanza de las matemáticas y en el estatus social de sus enseñantes está explicado en [Biagioli 1989]. El propio desarrollo conceptual interno de la materia es el primero de los motivos aducidos por Biagioli de este proceso [Biagioli 1989, pp. 43]. También destaca el rol secundario jugado por las Universidades en el proceso [Biagioli 1989, pp 51-52] y [Feingold 2003, pp. 5], aunque [Favino 2006, pp. 357] dice que ésto es un prejuicio historiográfico.


Nota 19

A la muerte de Ignacio en 1556 había 35 escuelas jesuítas mientras que a fin de siglo, en 1599, eran 245 y, tan sólo unos años después, en 1615, ya habían alcanzado las 372 escuelas. Ver [Smolarski 2002, pp 448]. Los motivos de este crecimiento de instituciones educativas fueron a) el crecimiento de población, b) la necesidad de educación formal para círculos mucho mayores de población (ciudades) y c) la pugna catolicismo protestantismo precisaba de difusores bien formados [Donnelly 1982, pp. 45-46].


Nota 20

Hoy conocido como Pontificia Universidad Gregoriana. Como destaca Baldini [Baldini 1992, pp. 37 y 63] todos los personajes influyentes del Collegio en sus primeros años fueron de extracción hispana.


Nota 21

Como se puede comprobar, todavía se respira un ambiente medievalista: si sustituimos el astrolabio por la música, las cuatro disciplinas son las del quadrivium. No obstante, en versiones posteriores se ampliarán el número de disciplinas y de autores a estudiar.


Nota 22

Uno de estos documentos ha sido estudiado de forma extensiva por Romano Gatto recientemente [Gatto 2006]. También Smolarski ha estudiado el conjunto de estos ma- nuscritos de dificil datación [Smolarski 2002] y [Smolarski 2002-1].


Nota 23

Ver [Smolarski 2002, pp. 450].


Nota 24

En [Smolarski 2002, pp. 459 y ss.] puede encontrarse una traducción al inglés de los pasajes de estos documentos refrentes a las matemáticas. Los pasajes entrecomillados que vienen a continuación, son traducciones castellanas literales de esta traducción inglesa.


Nota 25

Constituciones. Parte IV, Cap. 12, parte C [Barbera 1942, pp. 104]: "Se estudiará lógica, física, metafísica y moral, y también las matemáticas, en cuanto convengan al fin que se pretende". La influencia de Ignacio y de los demás fundadores también se manifiesta en el método de enseñanza: el modus parisiensis, como señala [Cosentino 1971, pp. 205].


Nota 26

La referencia a Clavius, sin citarlo por su nombre, es clarísima: el Santo Padre le había encomendado la tarea de reformar el calendario. De sus trabajos surgió el calendario gregoriano que todavía usamos hoy.


Nota 27

La idea es que estudien sólo matemáticas durante dos años y, en el tercer curso, las combinen con la teología.


Nota 28

De hecho, es muy posible que Clavius ya estuviese haciendo este trabajo de formador desde varios años antes [Feingold 2003, pp. 48]. Mateo Ricci (1552-1610), el introductor de Euclides en China, fue alumno del Collegio Romano (y de Clavius) entre 1572 y 1577, diez años antes del documento.


Nota 29

En [MacDonnell 1989] puede encontrarse una relación casi exhaustiva de los geómetras jesuítas, aunque no incluye una genealogía de los mismos.


Nota 30

Lo más parecido a una biografía de este personaje es un artículo de Bosmans de 1925 [Bosmans 1925]. También se pueden encontrar algunas indicaciones biográficas en [Bosmans 1927, pp. 66-69].


Nota 31

Ver [Looy 1980, pp. 280].


Nota 32

Ver [Meskens 1994] y [Dhombres 1993].


Nota 33

Hay que tener en cuenta que St. Vincent tuvo dos ataques de aplopejía en 1628 y 1659 que mermaron notablemente su capacidad creadora, por lo que los manuscritos del Opus son muy anteriores a su publicación [Looy 1980, pp. 281].


Nota 34

Es la época de Tartaglia (quien, por cierto, también publicó una traducción italiana de los Elementos en 1565), Cardano, Recorde, Bombelli, Viète, Napier, etc.


Nota 35

Ver [Homann 1983, pp. 245-246]. De hecho, las primeras reformas en la enseñanza de la geometría se producirán en el siglo XIX [Cajori 1910, pp. 200-201].


Nota 36

Hemos referido las ediciones más influyentes, sin embargo, contemporáneamente, hubo otras ediciones a cargo de Petrus Ramus (1569), Candalla (1566) y Pelletier (1557 y 1572). Ver [Baldini 1993, pp. 30]. Para una relación (no exhaustiva) de las obras publicadas en el siglo XVII, ver [Kokomoor 1928].


Nota 37

Conviene tener presente que Oronce Finé fue muy probablemente profesor de los fundadores de la Compañía en la Universidad de Paris y no es descabellado pensar que, tanto Diego Laínez (primer general después de Ignacio) como Baltasar Torres (primer profesor de matemáticas en el Collegio Romano), ejerciesen alguna influencia sobre Clavius.


Nota 38

Las ediciones actuales de los Elementos, empiezan con 23 definiciones, 5 postulados y 5 (a veces 9) nociones comunes.


Nota 39

Esta definición es importante porque afirma la existencia de paralelogramos. Aunque no de rectángulos, que será el problema que abordará Saccheri.


Nota 40

El texto canónico de los Elementos fue establecido por Heiberg a finales del siglo XIX. La edición crítica que hemos utilizado es la de Bernard Vitrac por ser la más reciente [Euclides - Vitrac]. La traducción de Commandino tiene esta misma estructura por lo que la reasignación de Clavius parece proceder de François de Foix-Candale (Francisco Flusate Candalla) quien en su edición de los Elementos de 1566 dice que los postulados permiten construir figuras (regla y compás) mientras que las nociones comunes afirman algo sobre figuras ya construidas [Baldini 1993, pp. 28-29].


Nota 41

[Clavius 1612, pp 23].


Nota 42

Aunque la 10 de Finé [Fine 1551, pp. 7v] es la 14 de Clavius [Clavius 1612, pp. 25]: "Dos rectas no encierran un espacio". Esta afirmación es utilizada por el propio Euclides en la P4 aunque Heiberg lo considera una interpolación, igual que la NC9 [Euclides - Vitrac, pp. 201]. De hecho, si se considera (como hace Proclo) que una recta está enteramente determinada por dos de sus puntos esta afirmación es innecesaria [Euclides - Vitrac, pp. 179].


Nota 43

"Si a cosas desiguales se les restan cosas iguales, los restos son desiguales" [Clavius 1612, pp. 23] y [Fine 1551, pp. 7].


Nota 44

[Clavius 1612, pp. 24].


Nota 45

[Clavius 1612, pp. 24].


Nota 46

[Clavius 1612, pp. 26].


Nota 47

[Clavius 1612, pp 26].


Nota 48

Como ya se ha dicho, hoy en día se considera que las nociones comunes son 5 o 9, dependiendo si se considera que las NC 4, 5, 6 y 9 son interpolaciones o no. Para un análisis detallado ver [Euclides - Vitrac, pp. 178-184]


Nota 49

De hecho, todas las traducciones de la época (la de Commandino, la de Tartaglia al italiano, etc.) siguen esta división heredada de Proclo.


Nota 50

Ver [Clavius 1612, pp. 27-28] y [Fine 1551, pp. 7v].


Nota 51

"Construir un triángulo rectángulo" y "Dibujar una recta igual a otra dada".


Nota 52

"Igualdad de triángulos cuando tienen dos lados y el ángulo incluido iguales" e "Igualdad de los ángulos en la base de un triángulo isósceles".


Nota 53

Así, por ejemplo, la Proposición 5 es, al propio tiempo, el Teorema 2; y la Proposición 9 es, simultáneamente, el Problema 4.


Nota 54

En la proposición 28 [Clavius 1612, pp. 49].


Nota 55

En la proposición 32 [Clavius 1612, pp. 56].


Nota 56

En la proposición 8 [Clavius 1612, pp. 34].


Nota 57

En las proposiciones 20 y 25 [Clavius 1612, pp. 43 y 46 respectivamente].


Nota 58

En la proposición 25 [Clavius 1612, pp. 46].


Nota 59

En la proposición 28 [Clavius 1612, pp. 49-50].


Nota 60

En las proposiciones 2, 3, 4, 6, 11, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 28, 31, 34, 37, 41, 43, 46, y 47 [Clavius 1612, pp. 30, 30, 30, 32, 37, 39, 40, 4., 41, 42, 43, 43, 45, 46, 48-53, 54, 61-62, 64, 71, 72, 74 y 76 respectivamente]


Nota 61

En las proposiciones 15 , 34 , 38 , 42 , 43 , 44, 45 y 47 [Clavius 1612, pp. 39, 60, 65, 71, 72, 73, 74 y 75 respectivamente]. Con Pelletier mantuvo Clavius una agria disputa sobre el ángulo de contacto (P16 L3) [Loget 2002, pp. 210-211] y [Maieru 1990].


Nota 62

En las proposiciones 32, 47 y 48 [Clavius 1612, pp. 56, 76 y 79 respectivamente].


Nota 63

En las proposiciones 14 y 20 [Clavius 1612, pp. 39 y 43 respectivamente].


Nota 64

En la proposición 24 [Clavius 1612, pp 46]. Esta es especialmente interesante porque no se halla en ediciones anteriores, ni siquiera en Proclo.


Nota 65

En la proposición 47 [Clavius 1612, pp. 76].


Nota 66

En la proposición 47 [Clavius 1612, pp. 76].


Nota 67

En las proposiciones 19, 32 y 39 [Clavius 1612, pp. 42, 57 y 66 respectivamente].


Nota 68

En las proposiciones 9, 34 y 47 [Clavius 1612, pp. 35, 61 y 79 respectivamente].


Nota 69

De la página 1r hasta la 27r con sus versos no numerados.


Nota 70

Desde la página 13 hasta la 81 inclusive.


Nota 71

Así lo afirma Knobloch [Knobloch 1998, pp. 351] entre otros.


Nota 72

Véase [Clavius 1612, pp. 3-9].


Nota 73

Curiosamente, en este apartado afirma que los principios matemáticos son de tres tipos: definiciones, peticiones o postulados y axiomas o nociones comunes. La diferencia entre los dos últimos es que los postulados son verdades propias de la ciencia objeto de estudio, mientras que los axiomas son verdades comunes a todas las ciencias [Clavius 1612, pp. 9]. Sin embargo, como ya hemos visto, no aplica consistentemente esta idea en su distribución de postulados y axiomas en la geometría.


Nota 74

[Clavius 1612, pp. 3]. Sobre la obra de Francesco Barozzi ver [Giacobbe 1972-2].


Nota 75

Como ya se ha dicho, Barozzi fue el primer traductor al latín de dicho comentario en 1560. La influencia del Comentario de Proclo ha sido estudiada por Kessler [Kessler 1995].


Nota 76

No obstante, esta producción se irá alejando cada vez más de la estructura euclidiana al incorporar la perspectiva algebraica como resultado de la visión revolucionaria de Descartes [Davis 1995, pp. 212].


Nota 77

Esta idea de entender las líneas generadas como un flujo de puntos ya había sido introducida por Clavius, quien en el excurso de la definición 2 dice: "lineam nil esse aliud, quam puncti fluxum" (la línea no es otra cosa que un flujo de puntos) [Clavius 1612, pp. 14]. No obstante, es muy posible que el influjo del cálculo haya ido consolidando esta idea desde la época de Clavius hasta hacerla unánime.


Nota 78

Definiciones 9 a 12 [Tacquet 1683, pp. 4].


Nota 79

"Paralaleae lineae communi perpendiculo utuntur. Hocest, recta, quae ad parallelarum unam perpendicularis, est quoque perpendicularis ad alteram" [Tacquet 1683, pp. 12].


Nota 80

[Tacquet 1683, pp. 11-12].


Nota 81

[Tacquet 1683, pp. 12].


Nota 82

Salvo en P4 y P8 (igualdad de triángulos cuando tienen dos lados y un ángulo igual) en los que no tendrá reparo alguno en "aplicar" (MATH significa ajustar, acomodar) un ángulo sobre otro. De hecho, por la NC 7, está autorizado a ello, aunque la utiliza en raras ocasiones.


Nota 83

Se trata del ya comentado excurso de la Definición 2 [Clavius 1612, pp. 13-14].


Nota 84

Esta edición y la siguiente son atribuidas a William Whiston (sucesor de Newton en la cátedra Lucasiana de Cambridge) a pesar de que en su página de título pone claramente "By the Learned Andrew Tacquet". Whiston es el traductor al inglés, aunque podría haber añadido algunos corolarios [Barrow-Green 2006, pp. 11].


Nota 85

En la Biblioteca de la Universidad de Barcelona, por ejemplo, existen al menos tres ejemplares: Amsterdam, 1683; Roma, 1745 y Padua, 1754.


Nota 86

Aunque en la proposición 27 utiliza la definición de paralelas, estableciendo con ello su existencia y excluyendo, por tanto, toda posibilidad de geometría elíptica. Como ya advertirá Saccheri [Saccheri 1733, pp. 9], la existencia de paralelas depende de las proposiciones 16 y 17 del libro Primero. Ver capítulo 5.


Nota 87

Ver [Clavius 1612, pp. 48-49].


Nota 88

Basta con citar la P 15: "Si dos rectas se cortan, hacen los ángulos del vértice iguales entre sí".


Nota 89

Según [Maieru 1978, pp. 192] ésta es la única demostración que existe en la primera edición de Clavius (1574), quién la considera óptima. No obstante, en la edición de 1589 incluirá además su propia demostración que será la premisa más importante del trabajo de Saccheri [Maieru 1978, pp. 211] y [Maieru 1982].


Nota 90

Cosa que ya se encarga de precisar en el Prolegomena, diciendo que la doctrina platónica de la reminiscencia no está aceptada por la fe cristiana: quod tamen Christiana fides falsum esse perspicue docet [Clavius 1612, pp. A2].


Nota 91

Probablemente sea Proclo el primero en reflexionar sobre el sentido actual del infinito (y no meramente potencial, como defendían los aristotélicos) y de aceptarlo desde un punto de vista intelectivo [Proclo, pp. 232].


Nota 92

[Clavius 1612, pp. 50].


Nota 93

[Clavius 1612, pp. 50].


Nota 94

[Clavius 1612, pp. 51].


Nota 95

[Clavius 1612, pp. 51].


Nota 96

[Clavius 1612, pp. 51].


Nota 97

Ver capítulo 5.


Nota 98

[Clavius 1612, pp. 52].


Nota 99

Ya se ha comentado con anterioridad, el escaso rigor de ambos autores en la distinción entre Postulado (puramente geométrico) y Noción Común (válido para todas las matemáticas y demás ciencias).


Nota 100

"Assumo tanquam axioma per se noto, inter rectas AD, AX in infinitum productas duci posse aliquam ad AM parallelam, puta ZX, æqualis AR" [Tacquet 1683, pp. 35]. De hecho no es necesario prolongarlas hasta el infinito, sino que basta con escoger una prolongación finita suficente que permita constriur $\overline{rz}$.


Nota 101

Ver pàgina XII del Anexo. Evita el uso de P16 y P17 como hace Euclides.


Nota 102

En el Proemio al Lector, en los Escolio I y II de la P21 y en el Escolio del Lemma IV de la P33 [Saccheri 1733, pp. 5, 83, 91 y 201 respectivamente].


Nota 103

En el Escolio I de la P21 [Saccheri 1733, pp. 83].


Nota 104

En el Escolio II de la P21 [Saccheri 1733, pp. 87].


Nota 105

En el Escolio III de la P21 y en el Corolario I de la P25 [Saccheri 1733, pp. 101 y 137 respectivamente].


Nota 106

En el Escolio III de la P21 [Saccheri 1733, pp. 101].


Nota 107

En el Escolio del Lemma IV de la P33 [Saccheri 1733, pp. 201].


Nota 108

"Excepto cuando se refieran a triángulos de alguna forma restringidos" [Saccheri 1733, pp. 9].


Nota 109

[Saccheri 1733, pp. 117].