DEFINICIONES

Euclides

Clavius

Tacquet

1.- Punto = lo que no tiene partes

1.- Ídem

1.- El punto es el signo de la magnitud individual. En el excurso dice “sicut unitas numeri

2.- Línea = longitud sin anchura

2.- Ídem. Excurso: “quam fluxum puncti”. Habla del movimiento (motu) de los puntos.

2.- La línea es una magnitud de longitud. En el excurso dice “Intelligitur generari ex fluxu puncti

3.- Extremos de línea son puntos

3.- Ídem. Excurso breve.

3.- Ídem. Sin excurso alguno.

4.- Línea recta es la que yace por igual respecto de sus puntos

4.- Ídem. Largo excurso.

4.- Ídem. Añade (según Arquímedes) que es la distancia más corta entre dos puntos y (según Platón) que es aquella cuyos extremos oscurecen (obumbrant) todos los puntos medios. La regla.

5.- Superficie = longitud y anchura solamente

5.- Ídem. En el excurso (y el dibujo que lo acompaña) da a entender que una superficie puede ser una acumulación de líneas.

5.- Superficie es magnitud en longitud y anchura. Excurso breve: “Intelligitur generari ex fluxu lineae”.

6.- Extremos de superficie son líneas

6.- Ídem.

6,- Ídem. Sin excurso.

7.- Superficie plana es la que yace por igual respecto de sus líneas

7.- Ídem

7.- Ídem. Añade (según Herón) que es la superficie que permite trazar una recta en todas sus partes. Excurso: generada por un flujo de líneas rectas. Añade las definiciones arquimediana y platónica (como en D4) y dice que Euclides no define el cuerpo: “Tres igitur dimensiones habet corpus, superficies duas, linea unam, punctum nullam”.

8.- Ángulo plano = inclinación mutua de dos líneas en un mismo plano

8.- Ídem. Ángulos curvos, da razón de ellos.

8.- Ídem

 

 

9.- Los lados del ángulo son líneas que producen el ángulo.

 

 

10.- El vértice del ángulo es un punto en el que concurren las líneas. Excurso: estableciendo criterios de notación.

 

 

11.- Los ángulos son iguales cuando al coincidir el vértice los lados son congruentes (independientemente de su longitud).

 

 

12.- Los ángulos son desiguales cuando al coincidir el vértice y uno de los lados el otro no coincide. Excurso sobre la inclinación: la inclinación de las líneas no es una cantidad, remite a la P16 L3.

9.- Ángulo rectilíneo cuando las dos líneas son rectas

9.- Ídem

13.- Ídem. Excurso definiendo ángulo curvilíneo y mixto.

10.- Una recta levantada sobre otra forma ángulos adyacentes iguales es perpendicular y los ángulos son rectos

10.- Ídem

14.- Ídem.

11.- Ángulo obtuso es el mayor que un recto

11.- Ídem

15.- Ídem.

12.- Ángulo agudo es el menor que un recto

12.- Ídem. Largo excurso sobre ángulos inscritos

16.- Ídem.

13.- Límite es lo que es extremo de algo

13.- Ídem

 

14.- Figura es lo contenido en uno o varios límites

14.- Ídem

17.- Figura plana es una superficie plana limitada por una o más rectas.

15.- Círculo es una figura plana comprendida por una línea tal que todas las rectas trazadas desde ella hasta un punto interior son iguales entre sí

15.- Ídem

18.- Ídem.

16.- El punto se llama centro del círculo

16.- Ídem

19.- Ídem.

17.- Diámetro es la recta trazada a través del centro y limitada por ambos lados por el círculo y lo divide en dos partes iguales

17.- Ídem

20.- Ídem.

18.- Semicírculo es la figura comprendida entre un diámetro y la circunferencia cortada por él.

18.- Ídem

22.- Ídem. Excurso: la generación del círculo mediante el movimiento de giro de una recta sobre uno de sus extremos, problema de uniformidad del giro, etc. División tradicional en 360 grados.

19.- Figura rectilínea es la comprendida por rectas (trilátera, cuadrilátera, etc.)

19.- Ídem

23.- Ídem.

20.- De las figuras triláteras, es equilátera la que tiene tres lados iguales, isósceles la que tiene dos y escaleno la que no tiene ninguno

20.- Triángulo es la figura rectilínea comprendida por tres rectas. Traslada las definiciones de equilátero (Def. 23) isósceles (Def. 24) y escaleno (Def. 25).

24.- Triángulo, o trilátero, es la superficie plana comprendida por tres rectas. Traslada las definiciones de equilátero (Def. 25) isósceles (Def. 26) y escaleno (Def. 27).

21.- De las figuras triláteras, rectángulo es la que tiene un ángulo recto, obtusángulo la que tiene un ángulo obtuso y acutángulo la que tiene los tres ángulos agudos

26, 27 y 28.- Define los triángulos rectángulos (Def. 26), obtusángulos (Def. 27) y acutángulos (Def. 28) en otras definiciones independientes

28, 29 y 30.- Ídem. En definiciones separadas.

22.- De las figuras cuadriláteras, cuadrado es equilátero y rectangular, rectángulo es rectangular y no equilátero, rombo es equilátero y no rectangular, romboide tiene lados y ángulos opuestos iguales pero no es equilátero ni rectangular, trapecios las demás figuras cuadriláteras

21.- Ídem. Traslada las definiciones de cuadrado (Def. 29), rectángulo (Def. 30), rombo (def. 31), romboide (Def. 32) y trapecio (Def. 33).

31, 32, 33 y 34.- Ídem. Definiendo rectángulo, cuadrado, rombo y romboide (en este orden). No define el trapecio. Dice que todos los cuadrados son rectángulos pero no a la inversa.

 

22.- Figuras multiláteras son las que están comprendidas por más de cuatro líneas rectas

38.- Las figuras planas comprendidas por más de cuatro rectas son polígonos.

23.- Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos

34.- Ídem. “In infinitum producantur”.

36.- Nueva definición de paralela: Las rectas paralelas son equidistantes, estando en el mismo plano y prolongadas al infinito siempre distan entre ellas el mismo intervalo. Excurso: sobre la noción de intervalo (una perpendicular a una de ellas), sobre la forma de generarlas (mediante una perpendicular que se desplaza), sobre la crítica de la definición euclídea (la hipérbola, la concoide o dos parábolas también cumplen la definición euclídea)

 

 

35.- Paralelogramo es la figura cuadrilátera cuyos lados opuestos son paralelos.

35.- Ídem.

 

36.- Cuando dos paralelas a los lados se intersecan en un mismo punto de una diagonal formando cuatro paralelogramos, llamamos complementos a los dos paralelogramos por los cuales no cruza la diagonal y a los otros dos les llamamos formados en la diagonal.

37.- El diámetro (la diagonal) de un paralelogramo o de cualquier cuadrilátero es la recta trazada entre dos ángulos opuestos.

 

 

39.- Angulo externo de una figura rectilínea es el formado por un lado y la prolongación de su adyacente.

 POSTULADOS

Euclides

Clavius

Tacquet

1.- Trazar una recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera

1.- Ídem.

1.- Ídem.

2.- Prolongar continuamente una recta finita en línea recta

2.- Ídem. “In continuum recta producere”.

2.- Ídem. “In directum et continuum ducere“.

3.- Describir un círculo con cualquier centro y distancia

3.- Ídem.

3.- Ídem.

4.- Todos los ángulos rectos son iguales entre sí

Trasladado como Noción Común Num. 12

Trasladado como Noción Común 10.

5.- Si una recta, al incidir sobre otras dos, hace ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán del lado en que los ángulos son menores que dos rectos

Trasladado como Noción Común Num. 13

Ver crítica de este postulado en NC11.

 

4.- A cualquier magnitud dada se le puede sumar otra magnitud, tanto mayor como menor.

 

 NOCIONES COMUNES

Euclides

Clavius

Tacquet

1.- Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí

1.- Ídem. Añade que, si de dos cosas iguales una es mayor (o menor) que una tercera, la otra también será mayor (menor) que ella.

1.- Ídem a Clavius.

2.- Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales

2.- Ídem

2.- Ídem.

3.- Si de cosas iguales se restan cosas iguales, los restos son iguales

3.- Ídem

3.- Ídem.

4.- [Si se añaden cosas iguales a cosas desiguales los totales son desiguales] 1

4.- Si se añaden cosas desiguales a cosas iguales, los totales son desiguales.

4.- Ídem a Clavius.

 

5.- Si de cosas desiguales se restan cosas iguales, los restos son desiguales.

5.- Ídem a Clavius.

5.- [Los dobles de la misma cosa son iguales entre si] 1

6.- Si cosas iguales se duplican, su resultado son cosas iguales.

6.- Si magnitudes iguales se hacen la mitad, el doble, el triple, el cuádruplo, etc, resultan cosas iguales.

6.- [Las mitades de la misma cosa son iguales entre si] 1

7.- Si cosas iguales se hacen la mitad, el resultado son cosas iguales.

 

7.- Cosas que coinciden entre sí son iguales

8.- Ídem. En el excurso afirma la proposición conversa: las cosas que son iguales son coincidentes entre si, si se superponen.

7.- Ídem. Excurso con crítica de la conversa de Clavius (citado por su nombre)

8.- El todo es mayor que las partes

9,. Ídem

9.- Ídem.

9.- [Dos rectas no encierran un espacio] 1

14.- Dos rectas no pueden encerrar un espacio.

13.- Dos rectas no encierran un espacio.

 

10.- Dos líneas rectas no pueden tener un segmento en común

14.- Dos líneas rectas no pueden tener un segmento común y todas las rectas se intersecan en un solo punto.

 

11.- Dos rectas concurrentes hacia un punto, se intersecarán en dicho punto si se prolongan.

 

 

12.- Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

10.- Ídem.

 

13.- Si una recta, al incidir sobre otras dos, hace ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán del lado en que los ángulos son menores que dos rectos

 

 

 

15.- Si a iguales se añaden desiguales, la desviación de los totales será igual a la desviación de los añadidos [1].

 

 

16.- Si a desiguales se añaden iguales, la desviación de los totales será igual a la desviación de los primeros.

 

 

17.- Si de iguales se restan desiguales, la desviación de los restantes será igual a la desviación de los minuendos.

 

 

18.- Si de desiguales se restan iguales, la desviación de los restantes será igual a la desviación de los sustraendos.

 

 

19.- El total es igual a la suma de las partes

 

 

20.- Si un todo se duplica, el total no sólo será el doble de lo primero, sino también de lo restante[2].

 

 

 

8.- Si dos rectas (o dos ángulos) son iguales, al superponerse coinciden. (Es la inversa de Clavius NC8, pero restringida a rectas y ángulos)

 

 

11.- Las paralelas tienen perpendiculares comunes. Antes de plantear esta NC, dice que el axioma 11 de Euclides (el 5º postulado) no es verdadero ni claro porque no es un axioma sino un teorema y que será demostrado en la P31 de este libro. Por ello lo sustituye por el suyo.

 

 

12.- Dos perpendiculares a unas paralelas, determinan segmentos iguales en cada una de ellas.

LIBRO PRIMERO

Euclides

Clavius

Tacquet

1.- Construir un triángulo rectángulo sobre una recta limitada dada.

 

 

 

¡!!Nadie se cuestiona la presunción de que las circunferencias se intersecan!!!

 

1.- Problema 1. Ídem Euclides. Añade un escolio sobre cómo construir triángulos isósceles y escalenos. Añade un apartado de praxis para facilitar la construcción (arcos de circunferencia en lugar de circunferencia entera).

 

 

1.- Ídem

 

 

 

2.- Trazar en un punto dado una recta igual a otra recta dada

2.- Problema 2. Ídem Euclides.

 

 

2.- Ídem Euclides. Pero su demostración es por el sistema de trazar una circunferencia de radio igual a la recta con centro en el punto dado. Ello es una falta de rigor porque el postulado 3 no permite el uso del compás para transferir pura y simplemente distancias

 

3.- De dos rectas desiguales dadas, detraer de la más grande un segmento igual a la pequeña.

 

Es precisamente esta proposición la que permite el uso común del compás.

3.- Problema 3. Ídem Euclides

3.- Ídem. No lo demuestra porque ya ha usado el compás indebidamente en la proposición anterior

4.- Dos triángulos con dos lados iguales y el ángulo contenido entre ellos también igual, tienen el otro lado igual y los dos triángulos son iguales

4.- Teorema 1. Ídem Euclides. En el escolio introduce ejemplos numéricos

4.- Ídem. Lo demuestra mediante superposición utilizando la NC8. Mediante escolio demuestra que también serán iguales los triángulos que tienen dos lados iguales e iguales los dos ángulos en los extremos de los lados.

5.- Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales y, si se prolongan los dos lados iguales, los ángulos externos también son iguales.

5.- Teorema 2. Ídem Euclides. En el escolio, extiende el teorema a los triángulos equiláteros y explica que también puede demostrarse por superposición (NC8). Como corolario de todo ello, demuestra la igualdad de los ángulos de un triángulo equilátero.

5.- Ídem. Simplifica la demostración considerando el isósceles “converso” y demostrando (P4) su igualdad, ignorando los ángulos externos. Como corolario afirma la igualdad de los ángulos de un triángulo equilátero, sin demostrarlo.

6.- Si dos ángulos de un triángulo son iguales entre sí, los lados que subtienden también serán iguales.

6.-Teorema 3. Ídem Euclides. En el escolio dice que es la proposición inversa a la P5 y que es necesario demostrarla porque las proposiciones inversas de teoremas demostrados no tienen porque ser necesariamente verdaderas: el razonamiento que lleva de antecedente a consecuente no ha de ser necesariamente a la inversa (de consecuente a antecedente). Añade un corolario, con demostración, afirmando que los triángulos que tienen los ángulos iguales, son equiláteros. Siguiendo a Proclo, demuestra la igualdad de los lados a partir de la igualdad de los ángulos externos.

6.- Ídem. También simplifica la demostración mediante el uso de la P4.

7.- Sobre una misma recta no se pueden trazar dos rectas iguales respectivamente a otras dos sobre un punto distinto, pero en el mismo lado.

7.- Teorema 4. Ídem Euclides.

7.- Ni siquiera la enuncia, diciendo que es a causa de la P8.

8.- Si dos triángulos tienen dos lados laterales iguales uno a uno y también la base es igual, el ángulo entre ambos lados también será igual

8.- Teorema 5. Ídem Euclides. Mediante escolio indica que es la conversa de la P4 (primera parte) que deduce la igualdad de la base a partir de la igualdad del ángulo.  Explica las demostraciones alternativas de los discípulos de Filón expuestas por Proclo en su Comentario.

8.- Si dos triángulos tienen los tres lados iguales, los tres ángulos también serán iguales uno a uno. Lo demuestra por superposición y afirma que el teorema admite varios casos (Filón) pero que su demostración es dificultosa.

9.- Bisección de un ángulo

9.- Problema 4. Ídem Euclides. Añade consejos prácticos para trazar la bisectriz. En escolio nos dice que se puede dividir un ángulo en 4, 8, 16, 32 ... partes repitiendo la operación. Dice que Pappus tiene un método para dividir un ángulo en cualquier número de partes. También demuestra (de manera incorrecta) la forma de pentasecar un ángulo.

9.- Lo construye mediante la praxis de Clavius. Lo demuestra por igualdad de triángulos como Euclides y Clavius. En escolio, explica que Pappus y Arquímedes han obtenido curvas (la cuadratriz [3], la concoide [4]) que permiten dividir un ángulo en cualquier número de partes (y, en particular, trisecarlo).

10.- Bisección de un recta finita

10.- Problema 5. Ídem Euclides. Incluye consejos prácticos y anuncia que en la P40 demostrará como dividir una recta en cualquier número de partes iguales.

10.- Incluye consejo práctico.

11.- Construir una perpendicular en un punto dado de una recta

11.- Problema 6. Ídem Euclides. Siguiendo a Proclo, explica cómo proceder en el caso de que el punto dado sea un extremo y sin necesidad de prolongar la recta y ofrece un sistema alternativo más simple..

11.- Dice que existen formas prácticas de hacerlo muy simples (pero no las explica).

12.- Construir una perpendicular en un punto exterior a una recta infinita dada

12.- Problema 7. Ídem Euclides. En escolio nos explica por qué Euclides exige que la recta sea infinita (aunque no entra en la disquisición de Proclo [5] sobre la idea de infinito actual). Clavius identifica “infinita” con “no tener magnitud determinada”. Colección de consejos prácticos para distintos casos.

12.- Abrevia la demostración. Sin comentarios.

13.- Si una recta elevada sobre otra provoca dos ángulos, éstos serán rectos o iguales a dos rectos.

13.- Teorema 6. Ídem Euclides.

13.- Enuncia tres corolarios: i) si varias rectas inciden en el mismo punto de una recta, la suma de todos los ángulos será igual a dos rectos, ii) dos rectas secantes provocan ángulos iguales a 4 rectos (Euclides  y Clavius P15) y iii) la suma de todos los ángulos alrededor de un punto es cuatro rectos (Clavius P15). Todos sin demostrar.

14.- Si dos rectas producen respecto a una tercera y en un mismo punto de ella, dos ángulos adyacentes iguales a dos rectos sin estar en el mismo lado, entonces son la misma recta.

14.- Teorema 7. Ídem Euclides. En escolio y siguiendo a Proclo (quien se remite a Porfirio), explica por qué Euclides exige que las recta no estén en el mismo lado, en cuyo caso podrían ser perpendiculares entre sí en lugar de estar alineadas.

14.- Simplifica la demostración de forma extrema (4 líneas: es más corta la demostración que el enunciado)

15.- Dos rectas que se intersecan provocan ángulos opuestos iguales.

15.- Teorema 8. Ídem Euclides. Incluye dos corolarios: i) dos rectas secantes originan cuatro ángulos que suman dos rectos [6] y ii) la suma de todos los ángulos alrededor de un punto es cuatro rectos. Siguiendo a Proclo, demuestra su conversa (si dos rectas inciden por ambos lados sobre un mismo punto de una recta haciendo ángulos iguales en el vértice, entonces son una y la misma recta) y siguiendo a Pelletier una conversa más general (si cuatro rectas concurren en un mismo punto haciendo ángulos opuestos iguales en el vértice, entonces son dos y sólo dos rectas). 

15.- Demostración muy simplificada.

16.- En todo triángulo, si se prolonga uno de su lados, el ángulo exterior será mayor que cada uno de los ángulos interiores opuestos.

16.- Teorema 9. Ídem Euclides. Añade un corolario de Proclo que afirma que no se pueden trazar desde un mismo punto a una recta dada más de dos rectas iguales y lo demuestra.

16 y 17.- Dice que están contenidas en la P32 y a ella remite.

17.- En todo triángulo, la suma de dos ángulos cualesquiera es menor que dos rectos

17.- Teorema 10[7]. Ídem Euclides. Añade un corolario de Proclo que afirma que por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una perpendicular a dicha recta. Y tres corolarios más de escasa trascendencia.

18.- En todo triángulo, el lado mayor subtiende el ángulo mayor

18.- Teorema 11. Ídem Euclides. Añade corolario demostrando que los ángulos de un triángulo escaleno son todos desiguales.

18.- Ídem Euclides. Simplifica la demostración con una reducción al absurdo: “quod repugnat definitioni lineae rectae, quae est omnium brevissima” (D4  según Arquímedes).

19.- En todo triángulo, el ángulo mayor subtiende el lado mayor

19.- Teorema 12. Ídem Euclides. Añade el corolario de que de todos las rectas que se pueden trazar desde un punto a una recta cualquiera, la perpendicular es la más corta y lo demuestra. Siguiendo a Proclo, lo demuestra de forma alternativa mediante un “pequeño” lema: Si se bisecta un ángulo de un triángulo y la bisectriz divide el tercer lado en dos segmentos desiguales, entonces los lados del ángulo bisectado serán desiguales y el mayor estará en el mismo lado que el segmento mayor; dando la misma demostración de Proclo. Mediante dos escolios demuestra estas dos proposiciones alternativas: i) Si un triángulo tiene dos lados desiguales entonces la bisectriz del ángulo contenido por ellos divide el lado opuesto en segmentos desiguales y ii) Si la bisectriz de uno de los ángulos de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos iguales entonces los lados del ángulo son iguales.

19.- Ídem Euclides. Se limita a decir que es la inversa de P18 y, en lugar de demostrarla, la muestra simplemente con la ayuda del dibujo.

20.- En todo triángulo, dos lados cualesquiera juntos son mayores que el restante

20.- Teorema 13. Ídem Euclides. Expone también la demostración alternativa que Proclo[8] atribuye a la escuela de Herón y de Porfirio y que no precisa prolongar el lado del triángulo.

20.- Ídem Euclides. En lugar de demostrarla, se limita a decir que es evidente a partir de la definición arquimediana de línea recta.

21.- Si se construyen dos rectas desde los extremos de un lado que se intersequen en el interior del triángulo, éstas serán menores que los otros dos lados del triángulo pero comprenderán un ángulo mayor

21.- Teorema 14. Ídem Euclides. Resalta, como Proclo, la necesidad de las rectas se construyan a partir de los extremos ya que si se construyen sobre una parte del lado, las rectas, conjuntamente, pueden ser mayores que los otros dos lados y el ángulo formado menor. Y explica la misma demostración de Proclo.

21.- Ídem Euclides. Sólo demuestra que las rectas construidas son menores que los lados del triángulo con una demostración breve y elegante. La demostración de que el ángulo es mayor la remite a la P32 – Corolario 2.

22.- Construir un triángulo con tres rectas dadas (es necesario que tomadas de dos en dos sean mayores a la tercera)

22.- Problema 8. En el enunciado incluye la expresión “porque en todo triángulo, dos lados tomados conjuntamente son mayores que el restante[9]”. Añade una praxis para facilitar la construcción y un escolio para explicar cómo construir un triángulo igual a otro dado. Curiosamente, incluye dentro de la demostración un largo paréntesis explicando lo que sucede cuando no se cumple la condición[10] (y agrega los dibujos: círculos que no se intersecan, tomados sin ninguna duda de Proclo) pero no cita a Proclo..

22.- Ídem Euclides (sin la explicación). Lo construye de una forma breve y elegante, pero no demuestra que lo construido es lo solicitado.

23.- Construir un ángulo igual a otro ángulo dado sobre una recta dada y en uno de sus puntos

23.- Problema 9. Ídem Euclides. Añade algunas instrucciones prácticas y dice que en la P31 explicará como construir un ángulo igual sobre cualquiera de los lados de un ángulo dado.

23.- Ídem Euclides. Construcción y demostración muy breves y elegantes. En escolio, “in gratiam tyronum” (¿), expone la medición de los ángulos en grados y nos muestra el uso del transportador (semicircunferencia graduada).

24.- Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente, el que tenga el ángulo entre ellos mayor, también tendrá la base mayor

24.- Teorema 15. Ídem Euclides. Siguiendo a Finé (modus primus, secundus et tertius) da tres demostraciones, según si el extremo de la recta cae debajo, encima o en la base[11]. Estas demostraciones son innecesarias, ya que la demostración de Euclides tiene plena generalidad. En escolio, y siguiendo a Proclo, discute la desigualdad de ambos triángulos (áreas), demostrando que no se puede inferir la comparación de áreas de la comparación de perímetros dependiendo esta de si el ángulo es agudo, recto u obtuso.

24 y 25.- Junta ambas proposiciones y da una demostración (no válida) superponiendo los dos triángulos por uno de sus lados iguales y trazando con centro en uno de sus extremos una circunferencia de radio igual al otro de los lados iguales; únicamente lo muestra gráficamente.

25.- Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente, el que tenga la base mayor, tendrá el ángulo entre ellos mayor

25.- Teorema 16 [12]. Ídem Euclides. En el escolio dice que este teorema es el inverso del precedente y, siguiendo a Proclo, da las demostraciones alternativas de Menéalo y de Herón, afirmando que esta última es mejor (no recurre al absurdo).

26.- Si dos triángulos tienen dos ángulos y un lado iguales respectivamente, también serán iguales los lados y el ángulo restantes

26.- Teorema 17. Ídem Euclides. Corolario: también serán iguales las áreas de ambos triángulos (sin demostrarlo). En el escolio afirma que es la conversa de P4 y estudia las propiedades de los triángulos equiláteros e isósoceles respecto al enunciado de esta proposición.

26.- Nuevamente omite la demostración, dando tan sólo una explicación gráfica, heurística, pero inválida.

27.- Si una recta, al incidir sobre otras dos, hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas

27.- Teorema 18. Ídem Euclides. En el escolio insiste en la necesidad de que las paralelas estén en el mismo plano tal como dice en D34.

27.- Modifica sustancialmente el enunciado: “Si dos rectas paralelas intersecan otra recta, tendremos i) ángulos alternos iguales, ii) ángulo externo igual al interno en la misma parte, iii) suma de ángulos internos de la misma parte igual a dos rectos”. Para su demostración hace uso de sus NC11 y 12[13] sobre las paralelas. Mediante ellas, puede construir los triángulos X y Z y demostrar que son iguales y rectángulos.

28.- Si una recta, al incidir sobre otras dos, hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos rectos, las dos rectas serán paralelas

28.- Teorema 19. Ídem Euclides. Hay un error en el dibujo (al menos en algunos ejemplares). Escolio sobre la demostración de Proclo: dos premisas (axiomas en Proclo): i) Si dos líneas que forman un ángulo se prolongan hasta el infinito, la distancia entre ellas será mayor que cualquier magnitud finita ii) Si una recta interseca una paralela, al prolongarla también intersecará la otra. A continuación, Clavio pretende demostrar el 5P (su NC13), con la ayuda de los siguientes lemas: 1) La línea cuyos puntos equidistan de otra recta en el mismo plano, es recta (lo muestra por asimilación a las circunferencias concéntricas), 2) si una recta se desplaza sobre otra en ángulo recto, su extremo traza otra línea recta, 3) si se erigen dos perpendiculares iguales en los extremos de una recta y se unen sus extremos con una recta, entonces las perpendiculares trazadas desde ésta hasta la recta inicial serán todas iguales a las primeras perpendiculares, 4) y entonces ésta formará ángulos rectos con las dos perpendiculares[14]. (Corolario: si una recta incide en otras dos formando con una ángulo recto y con la otra agudo, las dos líneas se acercan por el lado del ángulo agudo y se alejan por el otro) y 5) NC13. Y acaba diciendo que su demostración es más simple que la de Proclo.

28.- Prescinde de la segunda condición y propone la primera (igualdad de un ángulo externo con el interno opuesto del mismo lado). Lo ventila con una brevísima demostración (cinco líneas), suponiendo lo contrario y trazando una paralela por uno de los puntos de intersección, pero que esto se pueda hacer no lo demuestra hasta la P31 usando precisamente esta misma proposición (argumento circular).

29.- La recta que incide sobre dos paralelas, hace (i) los ángulos alternos iguales entre sí, (ii) el ángulo externo igual al interno opuesto y (iii) los internos del mismo lado iguales a dos rectos

29.- Teorema 20. Ídem Euclides. En escolio afirma que es el inverso de los dos teoremas precedentes.

29.- Lo enuncia a la inversa: Si dos recta que intersecan a una tercera hacen ángulos alternos opuestos iguales o internos del mismo lado iguales a dos rectos, las rectas son paralelas. Lo demuestra indebidamente usando la proposición precedente.

30.- Las paralelas a una misma recta son también paralelas entre sí

30.- Teorema 21. Ídem Euclides. En escolio dice que salvo que se trate de la misma recta.

30.- Ídem Euclides.

31.- Por un punto dado trazar una paralela a una recta dada

31.- Problema 10. Ídem Euclides. En escolio dice que i) salvo que el punto se halle en la prolongación de la recta, ii) se puede construir un paralelogramo con dos rectas y un ángulo dados (corolario de Proclo a la P17), iii) se puede demostrar de forma alternativa la P26. Añade consejos prácticos para la construcción de paralelas.

31.- Ídem Euclides. En el escolio dice que con ello queda demostrado el axioma de Euclides. Y, para quien lo dude, presenta una demostración basada en la construcción de un paralelogramo sobre uno de los vértices de la intersección y la recta incidente, lo suficientemente grande como para que queden en su interior las dos rectas (dando por supuesto que este paralelogramo existe siempre): mientras una  de las rectas será paralela a uno de los lados del paralelogramo, la otra será una diagonal y, por tanto, se intersecarán en el interior del paralelogramo. Finalmente dice que la demostración de Clavius es independiente del axioma de las paralelas pero “muy prolija y demasiado engorrosa” y que la demostración de Proclo depende de un principio (“si una recta interseca una paralela, prolongada también intersecará a la otra”) que no es evidente por sí mismo según la definición 36.

32.- En todo triángulo, al prolongarse uno de sus lados, (i) el ángulo externo formado es igual a los dos ángulos internos opuestos y (ii) los tres ángulos internos son iguales a dos rectos

32.- Teorema 22. Ídem Euclides. En escolio, explica la demostración de Pitágoras y Eudemo. Polígonos (siguiendo a Proclo): todos los polígonos tienen la siguiente propiedad: la suma de sus ángulos es igual al doble de rectos del número de sus lados menos 2. Lo demuestra por la división de la figura con diagonales no secantes en tantos triángulos como lados menos dos. También cumplen que, si se prolongan sus lados en un solo sentido, la suma de los ángulos externos es siempre igual a cuatro rectos. Pentágono (siguiendo a Campanus). Corolarios: i) si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercero también lo será, ii) en un triángulo rectángulo isósceles, los ángulos en la base son semirrectos, iii) los ángulos de un triángulo equilátero son iguales a dos tercios de un recto (trisección del ángulo recto es posible) y iv) en un triángulo equilátero, al trazar una perpendicular por un vértice al lado opuesto, se obtienen dos triángulos escalenos.

32.- Parte 1: Ángulo externo igual a los otros dos internos. Añade tres corolarios: i) que el ángulo externo es mayor que cualquiera de los dos ángulos internos opuestos, ii) una demostración alternativa de la P21 y iii) si desde un punto a una recta se trazan varias líneas (una perpendicular, las otras oblicuas), la perpendicular siempre estará opuesta al ángulo agudo de las oblicuas.

32.- Parte 2: La suma de los ángulos de todo triángulo es igual a dos rectos. O sea 180º. Lo demuestra como Euclides y Clavius y añade una demostración alternativa (Pitágoras, Eudemo, sin citarlos) trazando una paralela por el vértice al lado opuesto: los ángulos internos alternos son iguales. Incluye 12 corolarios más de los que destaco las dos últimas (que no están Clavius): xiv) la perpendicular es la distancia más corta entre un punto y una recta y xv)  de un punto a una recta sólo puede trazarse una perpendicular.

32.- Tres teoremas adicionales sobre el valor de los ángulos de los polígonos (los mismos que Clavius). 

33.- Las rectas que unen por el mismo lado los extremos de dos rectas iguales y paralelas, son también iguales y paralelas

33.- Teorema 23. Ídem Euclides.

33.- Ídem Euclides.

34.- En los paralelogramos (i) los lados y los ángulos opuestos son iguales entre sí y (ii) su diagonal los divide en dos partes iguales.

34.- Teorema 24. Ídem Euclides. Escolio 1: demuestra que en todo cuadrilátero: i) si tiene los lados opuestos iguales es paralelogramo, ii) si tiene los ángulos opuestos iguales es paralelogramo, iii) si tiene todos los ángulos rectos es paralelogramo, iv) si el diámetro lo bisecta, es paralelogramo. Siguiendo a Pelletier: colocar una recta dada en el interior de un ángulo de lados infinitos con un ángulo dado respecto a uno de ellos (la suma de ambos ángulos ha de ser menor a 2R). Escolio 2: (siguiendo a Pappus y a Proclo).

34.- Ídem Euclides. En escolio afirma que en parte debido a esta proposición y en parte a la definición de rectángulo (inicio del libro 2), es muy fácil conocer las dimensiones de un rectángulo mediante el producto de sus lados. En el caso del cuadrado, es el cuadrado de su lado. La demostración procede de la división mediante paralelas de los lados del rectángulo.

35.- Los paralelogramos que están en la misma base y entre las mismas paralelas, son iguales entre sí.

35.- Teorema 25. Ídem Euclides.

35 y 36.- Los paralelogramos construidos sobre la misma o igual base y entre las mismas paralelas, son iguales. Ídem Euclides (agrupado). Escolio: con este teorema puede calcularse la dimensión de cualquier paralelogramo (base por altura).

36.- Los paralelogramos que están sobre bases iguales y entre las mismas paralelas, son iguales entre sí.

36.- Teorema 26. Ídem Euclides.

37.- Los triángulos que están sobre la misma base y entre las mismas paralelas son iguales entre si.

37.- Teorema 27. Ídem Euclides.

37 y 38.- (Los agrupa como en el caso anterior).

38.- Los triángulos que están sobre bases iguales y entre las mismas paralelas son iguales entre sí.

38.- Teorema 28. Ídem Euclides. El problema de Pelletier: trazar una recta por un punto dado de un lado de un triángulo que lo divida en dos partes iguales.

39.- Los triángulos iguales que están sobre la misma base y en el mismo lado están también entre las mismas paralelas.

39.- Teorema 29. Ídem Euclides. Escolio (de Camapanus): la línea recta que bisecta dos lados de un triángulo es paralela al otro lado.

39 y 40.- (Agrupados también como antes).

40.- Los triángulos iguales que están sobre bases iguales y en el mismo lado están también entre las mismas paralelas.

40.- Teorema 30. Ídem Euclides. En escolio añade algunas generalizaciones del teorema a los trapecios (que en definitiva no son más que triángulos truncados) y resuelve algunos problemas: dividir una línea recta finita en cualquier numero de partes iguales.

41.- Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo.

41.- Teorema 31. Ídem Euclides. En el escolio da una demostración alternativa. Luego, siguiendo a Proclo, comenta la relación con un trapecio con dos lados paralelos.

41.- Lo enuncia al revés: el triángulo es la mitad del paralelogramo. Escolio: de ello y del escolio de la P35 se calcula el área del triángulo (la mitad de base por altura). Y en un triángulo rectángulo la mitad del producto de los catetos.

42.- Construir en un ángulo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado.

42.- Problema 11. Ídem Euclides. En escolio demuestra la proposición inversa siguiendo a Pelletier.

42.- Ídem Euclides. Corolario: con ángulo recto se construye un rectángulo igualmente.

43.- En todo paralelogramo los complementos situados en torno a la diagonal son iguales entre sí.

43.- Teorema 32. Ídem Euclides. En escolio da dos demostraciones de proposiciones similares de Proclo y Pelletier.

43.- Ídem Euclides.

44.- Aplicar a una recta dada en un ángulo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado.

44.- Problema 12. Ídem Euclides. En escolio demuestra la inversa siguiendo a Pelletier.

44.- Ídem Euclides.

45.- Construir en un ángulo dado un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada.

45.- Problema 13. Ídem Euclides. Señala la generalidad que Euclides da al teorema: por triangulación del polígono dado. En escolio demuestra, siguiendo a Pelletier, como calcular la diferencia entre dos figuras rectilíneas cualesquiera.

45.- Ídem Euclides. En escolio muestra sin demostrar cómo construir un rectángulo igual a cualquier cuadrilátero dado de forma sencilla.

46.- Trazar un cuadrado a partir de una recta dada.

46.- Problema 14. Ídem Euclides. Escolio de Proclo: i) igualdad de rectas implica igualdad de cuadrados y ii) igualdad de cuadrados implica igualdad de lados. En un nuevo escolio dice que se puede demostrar más fácilmente por superposición.

46.- Ídem Euclides.

47.- En los triángulos rectángulos el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

47.- Teorema 33. Ídem Euclides. Escolio: en un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que la suma de los otro dos cuadrados. Da, a continuación una demostración alternativa, mencionando a Pelletier. Después de decir que este teorema fue descubierto por Pitágoras, da una serie de tríadas cómo ejemplo del mismo (3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 12,16,20) y da reglas para obtener tríadas que cumplan el teorema. A continuación demuestra una serie de lemas: i) el cuadrado de la diagonal de un cuadrado es el doble del cuadrado del lado, ii) el cuadrado de la diagonal de un rectángulo ..., iii) si dos triángulos rectángulos tienen la misma hipotenusa, son iguales, iv) construir dos cuadrados iguales que conjuntamente sean iguales a otros dos cuadrados cualesquiera, v) calcular la diferencia de ‘potencia’[15] de dos rectas no iguales, vi) obtener el cuadrado que es igual a la suma de los cuadrados de varias rectas cualesquiera, vii) añadir a un cuadrado cualquiera un área igual a otro cuadrado cualquiera de tal forma que la figura resultante sea otro cuadrado (duplicación e.g.), viii) calcular el lado restante conociendo los otros dos lados de un triángulo rectángulo (se pueden obtener números no racionales: aritmética) y ix) en todo triángulo de lados desiguales, la perpendicular trazada de un lado al vértice opuesto divide ese lado en partes desiguales.

47.- Ídem Euclides. Escolio: hace un elogio de tan preclaro invento fruto de la voluntad divina y explica el origen de los inconmensurables. Y los justifica, atendiendo a la naturaleza del punto. Soluciona a continuación, con el teorema, tres problemas: i) dado cualquier número de cuadrados, construir un de igual extensión a la suma de todos ellos, ii) calcular de diferencia de ‘`potencia’ de dos rectas desiguales (el v.- de Clavius) y iii) cálculo de un lado de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos (el viii.- de Clavius).

48.- Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, el ángulo comprendido entres estos últimos es recto

48.- Teorema 34. Ídem Euclides. En escolio dice que es el converso del teorema anterior.

48.- Ídem Euclides.

 

Sumario de las 9 comparaciones entre triángulos hechas en el Libro Primero:

P4: Igualdad cuando tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

P8: Igualdad cuando son iguales los tres lados.

P24: Desigualdad cuando tienen dos lados iguales y distinto el ángulo comprendido.

P25: Desigualdad cuando tienen dos lados iguales y distinto el otro.

P26: Igualdad cuando tienen iguales dos ángulos y un lado.

P37: Igualdad cuando tienen la misma base y están entre las mimas paralelas.

P38:  Igualdad cuando tienen igual base y están entre las mimas paralelas.

P39: Igualdad de altura cuando son iguales y tienen la misma base.

P40: Igualdad de altura cuando son iguales y tienen la base igual.

A partir de la P4 se pueden hacer tres comparaciones más usando, no el ángulo comprendido, sino los otros dos.

 

 

Notas:


1 Las NC 4, 5 6 y 9 fueron eliminadas en la edición Heiberg. Los motivos aducidos por Heiberg es que son interpolaciones posteriores. Por ello he optado por incluirlas entre corchetes.

 

 

 

[1] Esta NC y las tres que la siguen, podrían ser corolarios de la NC 4 y demostrarse como tales.

[2] Esta NC también es un corolario de la NC 2 y puede demostrarse a partir de ella.

[3] Atribuida a Hipias de Elis.

[4] Atribuida a Nicómedes

[5] Esta mención de Proclo del infinito actual y su consiguiente discusión de su consistencia probablemente sea la más antigua mención que se hace al problema del infinito actual.

[6] Este corolario es atribuido por Proclo (porisma) al propio Euclides, pero no está en los manuscritos más acreditados según Heiberg.

[7] Aunque en el libro dice Problema, por la ordenación se entiende que debe ser Teorema.

[8] Proclo, en su Comentario, critica en esta proposición la postura de los epicúreos quienes afirmaban que era evidente hasta para un asno (el camino más corto hasta el heno) y que lo evidente no precisa demostración.

[9] Esta explicación está en algunos manuscritos, pero Heiberg la omite por considerarla una interpolación. Proclo tampoco la incluye. Oronce Finé, sin embargo, la incluye.

[10] El texto de Euclides (Heiberg) no incluye esta explicación. La edición de Oronce Finé incluye una explicación de lo que sucede cuando la suma de dos de las rectas es igual a la tercera: circunferencias tangentes.

[11] Proclo también hace referencia a las tres posibilidades.

[12] En el original pone “Problema”, pero de la numeración se infiere que quiere decir teorema.

[13] Como ya se ha comentado (ver página 21) Euclides usa la P16 para la demostración de esta proposición. Tacquet consigue, mediante sus nuevas Nociones Comunes y el cambio en el enunciado, demostrar, no solamente lo que demuestra Euclides, sino también la conversa. De todo ello se sigue que las siguientes demostraciones se simplifican y que, finalmente, pueda demostrar el 5º Postulado en la P31.

[14] Esto será lo que cuestionará Saccheri estudiando si los ángulos son agudos, rectos u obtusos.

[15] Usa el término potencia para referirse al cuadrado construido sobre una recta.