Para
remitir todo conocimiento a la certeza, Descartes
somete todo a la
prueba de la duda, a lo que se ha llamado "la duda metódica
universal",
que consiste en dejar fuera (en "considerar falso") todo aquello de
lo que no sea absolutamente imposible dudar. Ya sabemos que lo primero
que
sucumbe a la duda es lo empírico y sensible: lo empírico y sensible por
ser
tal, por lo tanto todo ello: de los
sentidos sabemos que al menos pueden
engañarnos; por lo tanto, de todo lo que nos dan podemos
dudar.
Quedan en pie las matemáticas; pero precisemos: ¿qué son (ahora en el
sentido
de: de qué tratan) las matemáticas?; Descartes pretende generalizar la
noción,
no atenerse a lo que la aritmética y la geometría contienen de hecho,
sino
desprender de ellas (y de todo lo que posea "matemática") aquel
contenido esencial que precisamente sea el que hace posible ese carácter no
empírico y por lo tanto la certeza; así pretende obtener la noción de
una
enseñanza universal, una mathesis universalis. Descartes
dice que el
tema de la matemática en sentido amplísimo es el orden y la medida.
El
orden y la medida constituyen una ley a priori de
la mente; todo lo
presente a la mente aparece en el horizonte de orden y medida; por
ello, en
todo tiene que ser expresamente reconocible una medida (todo tiene que
ser
dimensión, medible)
y expresamente reconocible un orden; "orden" en el "uno, y
luego otro, y luego otro", como los puntos de una línea o la serie
numérica (el "contar"); "medida" es el resultado del orden,
o el orden visto como totalidad: que algo "mide" 3 quiere decir que
contamos hasta tres: una unidad, luego otra, luego otra; las figuras
geométricas "miden" (son medibles, tienen una medida) porque son ante
todo órdenes de unidades, en último término de puntos: es la
repetición del
punto lo que constituye la línea, luego la superficie, etc. Y este
orden (el
orden en sí mismo) no es un orden de cosas,
entendiendo ahora por
"cosa" algo dotado de cualidades características (en tal caso ya
habría algo distinto del puro orden), sino un orden de unidades
descualificadas, cada una de las cuales es absolutamente igual a la
anterior;
es el puro "uno y otro y otro..." absolutamente uniforme, la pura extensión.
Descartes
concibe todo lo corpóreo como reductible a magnitud, y la magnitud como
suma
de unidades, como un "uno al lado de otro". Esto implica que
para
Descartes toda magnitud es adecuadamente re-presentable por la magnitud
espacial,
por la extensión; lo cual es lo mismo
que decir que toda magnitud
es reducible a extensión, porque dos tipos de realidad que pueden ser
conocidos
totalmente de la misma manera no son dos tipos, sino uno.
Descartes
establece la reductibilidad recíproca (por lo tanto la identidad) de
la
extensión espacial y el número. Consideremos la recta trazada
horizontalmente
en la figura; tomado el punto O como "cero" y elegida
una unidad, a todo número le corresponde un punto de la recta y sólo
uno, y
viceversa: a cada punto de la recta le corresponde un número y sólo
un .
Sobre
esta base, Descartes es el creador de una nueva geometría, cuyo
principio es el
siguiente: cada punto del plano está definido por dos cantidades: el
punto P
es (x1, y1,
el punto Q es (x2,
y2, etc.; una
curva está definida por aquella ecuación
que establece la relación entre las cantidades x e
y válida para
cualquier punto de la curva en cuestión y no válida para ningún punto
que no
pertenezca a ella (es decir: una curva es la suma de
todos los puntos
que cumplen cierta condición). Una vez determinada la expresión en el
nuevo
sistema de ciertos hechos geométricos fundamentales, se opera
«algebraicamente» con las ecuaciones de las líneas en vez de hacerlo
geométricamente sobre las líneas mismas. Así, en vez de diversos
procedimientos
de operar con esta o aquella curva definible de esta o aquella manera,
se tiene
un modo absolutamente general de determinar cualquier curva,
independientemente de su mayor o menor complicación; cualquier
problema de encontrar
un punto se convierte en el problema de encontrar las soluciones (x
e y)
de un sistema de ecuaciones; etc.
Con
vistas a simplificar lo que más adelante diremos de Leibniz, y para no
introducir la suposición de que el lector sabe matemáticas, digamos que:
A los
valores x e y correspondientes
a un punto se les llama respectivamente
«abscisa» y «ordenada» de dicho punto; a la recta trazada
horizontalmente en la
figura 2 se le llama «eje de abscisas»; si representamos los valores y
sobre
otra recta, perpendicular a la anterior por O, como en la figura 3, a
esta segunda
recta se le llama «eje de ordenadas»; a la abscisa y la ordenada de un
punto se
les llama «coordenadas (cartesianas)» de dicho punto. Toda ecuación que
tenga
la forma y = a .x + b (siendo
a y b cantidades
determinadas) corresponde a una recta; a a
se le llama pendiente de la recta en cuestión, y
es igual a la tangente
trigonométrica del ángulo que dicha recta forma con el eje de abscisas.
Lo
matemático, en el sentido en que lo ha definido Descartes, es lo claro
y
distinto, lo cierto. Es claro porque se nos aparece
evidentemente, sin
lugar a dudas, mientras que lo empírico se nos aparece de modo
cambiante y
siempre sospechoso de error; es distinto porque eso que se nos aparece
sin
lugar a dudas está perfectamente definido; y ¿por qué está
perfectamente
definido?; precisamente porque el espíritu asiste a su definición, a
su
determinación, a su construcción; una línea es algo que se construye en
la
mente; lo matemático no sólo lo vemos como hecho, sino que se hace en
la mente
misma; en cambio, lo empírico sólo nos lo encontramos como hecho, no
podemos
construirlo, por lo tanto no vemos qué es. El ideal de la ciencia
sería
reducir todo a matemático: que la diferencia (ahora empírica, es decir:
confusamente percibida) entre el rojo y el azul quedase reducida a algo
del
tipo de la diferencia que hay entre
sólo
entonces la diferencia entre el rojo y el azul quedaría elevada al
nivel de
algo percibido clara y distintamente.