Vamos a
suponer que pudiésemos conformarnos con que la proposición «Todos los cuerpos
caen» tenga una validez semejante a la de un hábito; vamos a suponer esto
mismo, por el momento, para todas las llamadas leyes físicas. Hay, sin embargo,
como vamos a ver a continuación, al menos un campo en el que no es posible
dejar de reconocer proposiciones universales y necesarias que, sin embargo, no
son juicios analíticos; tal campo adquirirá, por tal razón, desde los comienzos
de la filosofía moderna, una importancia decisiva.
Consideremos
esta proposición: «Todo triángulo tiene por suma de sus ángulos 180o».
Si consideramos la definición del concepto «triángulo» y luego la definición
de cada una de las notas que entran en esa definición, etc., no encontraremos
ninguna nota relativa a la suma de los ángulos; el predicado según el cual la
suma de los ángulos es 180° no forma parte del propio concepto «triángulo»; por
lo tanto, la proposición considerada no es un juicio analítico; no la
obtenemos analizando el concepto «triángulo», sino haciendo una construcción;
trazamos por un vértice cualquiera de un triángulo cualquiera (sea el
vértice A del triángulo ABC) una paralela al lado opuesto, y entonces vemos que
los ángulos 2 y 3 de la figura son respectivamente iguales a B y C (en virtud
del paralelismo de sus lados y de su orientación en el plano), es decir: vemos
que el ángulo 2 y el B pueden superponerse el uno al otro mediante cierto
movimiento, y lo mismo el C y el 3;
ahora bien, los ángulos 1, 2 y 3 suman, como se ve en la figura misma, 180°; luego también esto es lo que suman los ángulos 1, B y C, que son los tres ángulos del triángulo ABC. La proposición aludida queda demostrada porque vemos que la construcción hecha podría hacerse sobre cualquier triángulo posible; pero se trata de una construcción, de un trazado, no del análisis de un concepto en sus notas
.
Consideremos
ahora la tesis «Los números tres y dos tienen por suma el número cinco».
Tampoco esta proposición expresa el análisis de un concepto, sino una operación
que efectuamos; por así decir: contamos hasta tres y luego dos más;
«tres» y «dos» expresan los «datos» para esa operación, los materiales para
esa construcción, y «suma» es el concepto de la operación misma, pero la
operación la hacemos realmente, no nos limitamos a analizar su concepto. Por lo
tanto, tampoco aquí se trata de un juicio analítico. Si decimos que, una vez
dicho «la suma de tres y dos», está ya presente «cinco», lo que queremos decir
no es que «cinco» esté presente como nota de un concepto, sino que es el
resultado necesario de la operación que indicamos al decir «la suma de tres y
dos».
Estamos
viendo que las proposiciones de la matemática no son juicios analíticos. Sin
embargo, son verdades universales y necesarias. La demostración arriba
expuesta de que la suma de los ángulos de un triángulo es 180° demuestra
absolutamente que en todo triángulo posible ocurrirá eso y que no
podríamos imaginar un triángulo en el que la suma de los ángulos fuese otra
cosa que 180°. Igualmente, 3 + 2 = 5 significa que no puede haber tres objetos
y dos objetos (ni siquiera tratándose de objetos puramente imaginados) que, en
total, sean otra cosa que cinco objetos. Más arriba (pág. 87) dijimos que la
experiencia no puede darnos nada universal y necesario, porque la experiencia
nos dice que la cosa es de hecho así en todos los casos experimentados, pero no
que tenga que ser así en todo caso posible. Luego las verdades matemáticas no
tienen su fundamento en la experiencia, y, en efecto, es fácil ver que las
verdades matemáticas no requieren, para su demostración, de ningún dato
empírico; son, pues, válidas «antes» de toda experiencia, lo cual expresa Kant
diciendo que son a priori. El sentido de este «antes», de este «a
priori», requiere aún la siguiente observación:
La
matemática no es válida en virtud de la experiencia, pero es válida
precisamente en y para la experiencia, en y para todos los
posibles objetos de la experiencia (por lo tanto también para los
puramente imaginados). Que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos no lo sabemos
por haber medido muchos triángulos rectángulos y haber visto que así se cumple,
es decir: no lo sabemos por la experiencia, sino por una demostración que lo
demuestra de una sola vez para todo triángulo rectángulo posible y que
(lo que es lo mismo) no toma nada del contenido de la experiencia, sino que es
totalmente a priori; ahora bien, lo que esta demostración a priori demuestra
no es otra cosa que una ley que todo posible objeto de la experiencia misma
tiene que cumplir, a saber: que todo objeto de la experiencia, en la medida en
que sea un triángulo rectángulo (y tanto más exactamente cuanto más exactamente
lo sea), ha de tener por medida de la hipotenusa la raíz cuadrada de la
suma de los cuadrados de los catetos. Las verdades matemáticas, pues, se
demuestran independientemente de la experiencia, pero no porque constituyan un
campo aparte, al margen de la experiencia; por el contrario, su validez
absoluta consiste precisamente en la absoluta certeza de que todo objeto de la
experiencia ha de cumplirlas. Podemos desarrollar a priori las
propiedades de una figura geométrica o de una fórmula numérica sin saber en
absoluto si hay o no algún objeto o algún fenómeno empírico que tenga esa
figura o se produzca según esa fórmula, pero la validez de lo que demostremos
en ese desarrollo consiste en que cualquier posible objeto o fenómeno que
respondiese a esa figura o a esa fórmula (y tanto más exactamente cuanto más
exactamente respondiese) tendría que cumplir lo demostrado. La
matemática no depende de la experiencia, pero no porque sea al margen de la experiencia,
sino porque legisla de antemano («de antemano» = «a priori») acerca de
la experiencia; es la experiencia la que tiene que ser con arreglo a la
matemática.
Descartes
(1596-1650) se pregunta, lo mismo que Platón y Aristóteles, en qué consiste el ser,
esto es: en qué consiste el que algo (lo que en cada caso afirmamos) sea
tal como lo afirmamos. La pregunta adopta en Descartes una forma peculiar
que es característica de la filosofía moderna (de la que Descartes puede ser
considerado como el fundador): Descartes se plantea la cuestión así: ¿cuándo (=
bajo qué condiciones) se está verdaderamente autorizado a decir que algo es?
Como primer paso en el desarrollo de esta pregunta, Descartes establece
que el que algo sea (el que estemos verdaderamente autorizados a decir
«esto es así») consiste en que no se pueda poner en duda ese
algo (en que no sea posible dudar de que «esto es así»); consiste, pues, en la certeza
(= imposibilidad de duda).
A
primera vista parece que, con esto, Descartes remite la determinación del ser
a un fenómeno «subjetivo», «humano», puesto que la imposibilidad de dudar
es algo que me acontece a mí, que pertenece a mi «vida psíquica». Si se admite
que la imposibilidad de dudar de determinadas cosas afecta a todos los hombres,
entonces tal imposibilidad pertenecería a «la naturaleza humana» y, por lo
tanto, seguiría siendo algo humano, y seguiríamos estando en que Descartes
remite a un fenómeno «humano» la determinación del ser. Ahora bien, ya esta
última consideración nos hace pensar que estamos interpretando a Descartes en
una vía que acaba en callejón sin salida; en efecto, ¿cómo podríamos saber que
ningún hombre posible podría dudar de algo, si no fuera porque ese algo, la
cosa misma, se nos presenta de un modo especial, de un modo que hace
absolutamente imposible la duda al respecto? Cuando reconocemos por válida la
demostración de que la suma
de los ángulos de un triángulo es 180°, lo que hacemos es reconocer que, una
vez trazada la paralela a uno de los lados, el que el ángulo 2 sea igual al B y
el 3 igual al C, y el que los ángulos 1, 2 y 3 sumen dos rectos, etc., son
cosas que se nos presentan de un modo que excluye toda posibilidad de duda;
«vemos» absolutamente no sólo que ello es así, sino que tiene que ser así y que
no podría ser de otra manera (que no podría haber un triángulo en el que no
ocurriese lo mismo). Es, pues, la cosa misma la que posee certeza, es
decir: la que se presenta no sólo como hecho, sino como necesidad, a diferencia
de lo que ocurre, por ejemplo, cuando yo afirmo que sobre mi mesa hay un
mechero, porque, en este caso, la presencia de un mechero sobre mi mesa, aun
suponiendo que de hecho acontezca, podría no acontecer, no es una necesidad (yo
puedo perfectamente imaginar el caso de que sobre la mesa no haya un mechero),
y, por lo tanto, en cuanto al hecho de que yo veo el mechero sobre mi mesa,
siempre cabe la posibilidad de pensar que yo estoy soñando o alucinado y que no
hay ningún mechero sobre mi mesa. ¿No podríamos también, en el caso de la suma
de los ángulos de un triángulo, pensar que podemos ser víctimas de una ilusión
al reconocer la evidencia de la demostración? No (si verdaderamente hemos
recorrido la demostración, entendiendo perfectamente todos sus pasos), porque
hay una diferencia fundamental entre la «evidencia» del mechero sobre mi mesa y
la evidencia de la demostración referente a la suma de los ángulos de un
triángulo: yo puedo tan perfectamente imaginar o soñar que sobre mi mesa no hay
ningún mechero como que lo hay, mientras que, en cambio, no puedo imaginar ni
soñar un triángulo sobre el cual no se pueda trazar una paralela a uno de los
lados por el vértice opuesto o sobre el cual, trazada esa paralela, no resulten
las igualdades de ángulos antes mencionadas. Yo puedo soñar o imaginar
mecheros, pero, necesariamente, si una pieza o una cara de un mechero es
triangular, entonces la suma de sus ángulos es 180° con total independencia de
que el mechero sea real, imaginado o soñado. La validez de las verdades
matemáticas es independiente del hecho de la experiencia y por eso es
absoluta. En cambio, todo lo que nos es dado en la experiencia es un hecho, no
una necesidad, es decir: es algo que acontece, pero de lo que nada nos impide
pensar o imaginar que no acontezca, algo que podría no acontecer; por ello,
siempre podemos pensar (como cosa posible) que nuestras constataciones
empíricas se deban a error nuestro; incluso si hacemos una experiencia con la
ayuda de aparatos muy precisos, al ver (por ejemplo) que la aguja indicadora
marca 60, podemos pensar que puede ocurrir que estemos padeciendo una
alucinación y que la aguja marque en realidad 70, o que no haya aguja ni
aparato ni experiencia, porque todo sea un sueño.
Martínez Marzoa, Felipe Iniciación a la Filosofía, Madrid, Istmo.
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