Las determinaciones universales o conceptos constituyen el elemento básico de todo saber común o científico, e incluso del propio lenguaje. Son aquello (esas características que captamos, reunimos y reconocemos en las cosas) que nos permite hacer un corte en el mundo y saber qué cae de un lado y qué cae del otro. Las cosas que caen de un lado —porque poseen esas características o esa característica— las consideramos diferentes de todas las que caen de otro —porque no las poseen—, y así podemos hacer una división, separar las unas de las otras y distinguirlas con más precisión. Pero, a la vez, las que caen de un mismo lado —porque tienen todas ellas esas características o esa característica en común— las consideramos iguales entre sí, y así podemos unirlas unas con otras diciendo que todas ellas tienen la misma determinación o caen bajo el mismo concepto, identificarlas y decir que son “lo mismo”. Ese concepto o esa determinación es lo que expresamos por medio de un término, por ejemplo “tiza” o “blanco”. El significado de esos términos es lo que nosotras/os entendemos cuando los usamos o cuando alguien los usa. Y lo que nosotros/as entendemos en ese caso es que quien emplea un cierto término se está refiriendo a algo que tiene cierta determinación, que posee ciertas características comunes a todo aquello a lo que puede aplicarse ese término o, lo que es lo mismo: que ese algo es “tiza” o que es “blanco”.

Si analizamos desde el punto de vista de la lógica [1] esa diáiresis-synagogé­ propia del lógos o, en términos modernos, ese unir-separar que tiene lugar en el “entendimiento”, entonces podremos decir que esa división consiste en lo que en la terminología de la lógica matemática contemporánea se denomina una “partición”, mientras que esa unión resulta de lo que en esa misma terminología se llama una “relación de equivalencia”.

Una partición es la división de un conjunto dado (por ejemplo el conjunto universo formado por todo lo que hay en el mundo) en dos subconjuntos (por ejemplo el de todo lo que tiene una determinada característica como la de ser “blanco”, y el de todo lo que no la tiene), de tal manera que estos dos subconjuntos resultantes sean disjuntos (es decir: no tengan elementos en común —en este caso todo ha de ser o “blanco” o “no blanco”—), y sean complementarios (lo cual significa que unidos nuevamente reconstruyen el conjunto original —como ocurrirá efectivamente si unimos de nuevo todo lo “blanco” y todo lo “no blanco”). En el mismo momento en que se lleva a cabo una partición de un conjunto en subconjuntos se establece también una relación de equivalencia entre todos los elementos que forman parte de un mismo subconjunto (es decir, entre todo aquello que tiene esa característica o esas características que se han usado para hacer la partición). El resultado es lo que se llama una “clase” o una “clase de equivalencia”: un conjunto cuyos elementos son equivalentes entre sí [2].

La relación de equivalencia

Si yo entiendo por “tiza” todo lo que tenga las características a, b, c (por ejemplo: todo lo que sea a/“sólido”, esté b/“compuesto de yeso”, y c/“pinte en la pizarra”), y alguien me manda a buscar una “tiza”, podré traer cualquier cosa que tenga esas propiedades, ya sea una tiza blanca cilíndrica de 8 mm de grosor o una con forma de prisma cuadrangular de color rojo o bien una esfera de yeso de color lila o un dado de tiza azul para tacos de billar, o incluso una cabeza de fauno del s. III d.C. tallada en yeso. Todo eso serán cosas de la misma clase, cosas equivalentes, al menos en términos de “tiza”. Otra manera de decir lo mismo sería decir que todas esas cosas —gracias a las propiedades que comparten— pueden ser sustituidas unas por las otras. Si lo único que busco es algo “sólido”, “compuesto de yeso” y con lo que se pueda “pintar en la pizarra”, me dará igual traer cualquiera de esas cosas, y podré sustituir cualquiera de ellas en cualquier momento por cualquiera de las otras, pero no, por ejemplo, por un tomate o por una regadera. En términos de “leña” podremos decir que son lo mismo —que son equivalentes y sustituibles, que “nos da lo mismo”— un “leño de algarrobo” y un “Stradivarius”, aunque en términos de “instrumentos de cuerda” no. Evidentemente, el que dos cosas sean equivalentes y sustituibles en ciertos términos no quiere decir lo sean siempre en cualesquiera términos, es decir, no significa que sean totalmente idénticas. Un “champiñón” y una “amanita phalloides” son equivalentes en términos de “seta”, pero no en términos de “ingrediente para un revuelto” —ya que una es “venenosa” y otra no—. Por tanto será importante atender también a las particiones y a los términos en que se llevan a cabo. Un “tronco de roble” y un “tronco de pino” son sustituibles en términos de “leña”, pero no en términos de “madera para hacer un barril” —ya que una “se pudre con la humedad” y la otra no—, etc. [3]

Las relaciones de equivalencia permiten resolver muchos problemas, multiplican la potencia de nuestro saber acerca de las cosas permitiéndonos conocer cuáles podemos sustituir por cuáles y cuándo. Las agrupan en conjuntos más amplios, grupos de cosas que tenemos a mano para solucionar cierta necesidad, de manera que cuando alguna cosa concreta no está disponible podemos recurrir a una equivalente que sí lo esté.

El radio de la circunferencia en que se inscribe un hexágono equilátero es equivalente a lado de ese mismo hexágono, y por lo tanto se lo puede sustituir por él y se lo puede usar para dibujar el hexágono en esa circunferencia. El valor resultante de sumar los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es equivalente al del cuadrado de la hipotenusa (según el teorema de Pitágoras), y por lo tanto se puede sustituir el uno por el otro en cualquier momento, gracias a lo cual se pueden resolver una cantidad de problemas matemáticos verdaderamente inmensa.

Las determinaciones universales o conceptos y los términos con que las expresamos no se refieren, por tanto, a las cosas concretas en tanto que cosas concretas o individuos (como lo haría una partícula deíctica —“esto”, “eso”, “yo”, “tú”— o un nombre propio —“El Sol”, “La Coruña”, “Lolita”, “Manolo”—), sino que se refieren a las cosas concretas en tanto que pertenecientes a determinadas clases de cosas. Por eso hablamos siempre de determinaciones “universales”, porque son válidas para todos los elementos de la clase, que para eso son equivalentes, y no como el caso de un nombre propio que sólo vale para un individuo y, por tanto, no es universal sino “singular”. Así, a medida que vamos colocando sobre las cosas esas etiquetas con sus características, con ello no sólo vamos sabiendo más cosas concretas acerca de cada cosa concreta para poder referirnos a ellas de forma más precisa o “más específica”, sino que también vamos estableciendo entre ellas una serie de relaciones, por ejemplo, de equivalencia, y vamos uniéndolas en grupos más grandes y sabiendo más cosas acerca de las cosas “en general”, de cuáles son sustituibles por cuáles y cuáles no, y en qué términos lo son. Esto forma un parte esencial de eso a lo que llamamos saber. Sin embargo todavía falta algo para que podamos darle a ese saber una forma más sistemática y más eficiente.

La relación de inclusión

De la misma forma en que se establecen relaciones de equivalencia entre los elementos de una clase también puede establecerse una relación de equivalencia entre dos clases. En este caso eso significa que todos los elementos que pertenecen a la una pertenecen también a la otra y a la inversa. Eso es lo que ocurre, por ejemplo con la clase L (“leña”) y la clase C (“combustibles sólidos de origen vegetal”). Podemos decir que L = C y podemos también sustituir una clase por otra en cualquier momento, ya que la partición que llevan a cabo en el conjunto original, y la relación de equivalencia que establecen entre los elementos que pertenecen a ellas es la misma. Uno y otro son términos sinónimos [4].

Pero, además de las relaciones de equivalencia hay otro tipo de relaciones que pueden establecerse entre clases y que son especialmente útiles para trabajar con ellas. Son las que se denominan “relaciones de inclusión”. 

Decimos que la clase B “está incluida en” la clase A cuando todos los elementos de la una pertenecen a la otra pero no necesariamente a la inversa. Por ejemplo la clase de los “champiñones” está incluida en la clase de las “setas” —porque todos los “champiñones” son “setas”—, pero no a la inversa —no todas las “setas” son “champiñones”—.

Las relaciones de equivalencia nos permiten crear clases, pero las relaciones de inclusión sirven para ordenar esas clases. Sirven para ordenarlas precisamente porque pueden establecerse en un sentido pero no en el inverso (son antisimétricas) [5].  Esto es lo mismo que sucede, por ejemplo, con la relación “mayor que”. Si a es “mayor que” b, entonces no puede ocurrir que b sea “mayor que” a. Esa es también una relación antisimétrica, como la relación “estar encima de” o “ser padre de”. Todas ellas son, por eso, lo que se conoce como “relaciones de orden, ya que al poderse establecer sólo en un sentido permiten ordenar esos elementos de una determinada manera. Cuando dividimos las cosas en clases de equivalencia podemos, simplemente, amontonarlas: hacer un montón o un grupo con las cosas “blancas” y otro con las “no blancas” sea encima de la mesa o sea en nuestro entendimiento. Lo único que nos importa en ese caso es que esté unidas como sea con todas las de su clase y separadas de las otras clases. Sin embargo cuando las ordenamos las colocamos unas en relación con otras de una determinada forma. Si usamos una relación de orden como la de “mayor que” para ordenar el conjunto de números {2, 4, 5, 1, 6, 10, 7, 9, 3, 8}, sólo podremos colocarlos de una forma: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Lo mismo ocurrirá si ordenamos la lista de nuestros antepasados varones mediante la relación “ser padre de”, formando un árbol genealógico o las plantas de un edificio mediante la relación “estar encima de” para dibujar un croquis. Las relaciones de orden sirven para dar a un conjunto una cierta estructura: la de una serie.

Pues bien, también podemos usar las relaciones de inclusión para ordenar un conjunto de clases y formar una serie de clases encajadas, que vayan de las más inclusivas a las menos inclusivas, por ejemplo: la clase “hongo” incluye a la clase “seta” y ésta incluye a la clase “champiñón”, etc. Esas clases pueden ordenarse en ese sentido mediante la relación estar de inclusión, pero no en el inverso [6].

Cuando cruzamos estos dos tipos de relaciones (equivalencia e inclusión) y formamos una serie de clases encajadas construimos una clasificación.

La clasificación

A partir del momento en que empezamos a manejar determinaciones no sólo las estamos poniendo todo el rato en relación con las cosas concretas para dividirlas o reunirlas en clases, sino que también vamos poniendo constantemente en relación unas clases con otras, unas determinaciones con otras: vamos ordenándolas mediante relaciones de inclusión y perfeccionando continuamente esas relaciones para formar una clasificación o sistema taxonómico (del griego, taxis, "ordenamiento", y nomos, "norma" o "regla").

La clasificación resulta de la aplicación sistemática del mismo método según el cual se establecen las determinaciones, ese que ponía en juego ya la dialéctica platónica.

En todos los escalones de la clasificación se reproduce el mismo esquema operatorio: cada conjunto (“género”) se divide en subconjuntos (“especies”) mediante alguna característica (diferencia específica) que habrán de poseer todos los elementos que pertenezcan a una especie y que no podrá poseer ninguno de los que pertenezcan a otra. El resultado son siempre conjuntos disjuntos y complementarios, es decir: clases, y además clases están encadenadas por relaciones de inclusión, es decir, incluidas unas dentro de otras y formando una serie.

"ser vivo"

(género)

/               \

"animal"               "no animal"

(especie A)                (especie B)

Toda especie está incluida en una clase superior que es su género próximo, y éste, a su vez, es una especie de un género superior, es decir, está incluido en una clase más general —la cual será género remoto de la primera—, etc.). Estas relaciones de inclusión van de lo más general a lo particular y forman un sistema de clases encajadas o anidadas.

Por ejemplo, si se tuvieran que clasificar los términos: "cabra", "rana", "geranio", "escarabajo pelotero" podría construirse una clasificación como la siguiente:

"ser vivo"

/               \

"no animal"               "animal"

          /                          /             \

          "geranio"            "mamífero"  "no mamífero"

                                       /                      /          \

                                          "cabra"        "anfibio"   "no anfibio"

                                                          /                    \

                                                                                      "rana"               "escarabajo pelotero"

La determinación “mamífero” sería el género próximo de la determinación “cabra” mientras que “animal” o “ser vivo” serían géneros remotos”. En los conceptos o determinaciones universales se pueden distinguir dos aspectos fundamentales: a) la comprensión (también llamada "intensión" o "connotación") y b) la extensión (también llamada "denotación").

La extensión, por su parte, se compone de todas las determinaciones que están incluidas en una determinación dada, es decir, todas las inferiores a ella en un árbol clasificatorio y, en último término, todos los individuos de los que se pueda predicar la determinación en cuestión. En el ejemplo dentro de la extensión del término “animal” estarían tanto las determinaciones “mamífero” y “no mamífero” como las determinaciones "cabra", “anfibio”, “no anfibio”, “rana”, “escarabajo pelotero”. A todas ellas puede aplicarse o extenderse el término “animal” —aunque no por ejemplo a “geranio” que queda fuera de la extensión de ese término—.

La comprensión son todos los caracteres o notas que contiene el término o determinación, y va aumentando a medida que se desciende por el árbol clasificatorio, ya que se compone de todas aquellas determinaciones en las que está incluida la determinación dada (género próximo, género remoto, etc.) más aquella nota que sólo esa determinación posee (diferencia específica).

Todas esas determinaciones superiores a ella en el árbol, más su diferencia propia, están implícitas en la determinación (ésta las contiene o las comprehende a todas ellas), y por eso se dice que constituyen su con-notación o comprensión. Son el significado mismo del término, y lo que nosotros/as entendemos cuando lo entendemos.

La definición es la explicitación de todas las notas que se hallan implícitas en la comprensión de un determinado término.

En el ejemplo dentro de la comprensión de “rana” estarían las notas: “anfibio”, “no mamífero”, “animal”, “ser vivo”. Eso mismo es lo que podríamos usar para aclarar el significado de ese término o para definir ese término.

La comprensión y la extensión son inversamente proporcionales, es decir a mayor extensión, menor comprensión; y, a mayor comprensión menor extensión.

Así el término “animal” tiene una extensión mayor que el término “mamífero”, puesto que designa, también a los “no mamíferos” y a todas sus subclases. Pero a su vez, la comprensión del término “anfibio” es mayor que la de “animal”, porque además de los caracteres comunes a todos los animales, los “anfibios” posee características propias que los diferencian y especifican más.

[1] Palabra que procede del griego logiké, y designa a la ciencia cuyo origen se sitúa tradicionalmente a las obras de Aristóteles que fueron agrupadas con ese nombre y en las que se estudiaba el uso del lógos en lo que respecta a la creación de determinaciones, proposiciones y argumentos.

[2] Así, si tenemos un conjunto U formado por los números {2, 4, 5, 1, 6, 10, 7, 9, 3, 8} podemos hacer una partición en él separando, por ejemplo, los números “pares” de los “no pares”. El resultado serán dos subconjuntos, el subconjunto A formado por los números {2, 4, 6, 8, 10} y el subconjunto B compuesto por los elementos restantes {1, 3, 5, 7, 9}. Ambos subconjuntos son disjuntos (ninguno de esos números puede ser par e impar a la vez) y complementarios (todos los elementos están o en un subconjunto o en el otro, de manera que si los juntamos obtenemos de nuevo el conjunto U). Además, en ambos casos los miembros de cada subconjunto son equivalentes entre sí (en el primer caso todos son “pares” y en el segundo todos son “no pares”) de manera que ambos subconjuntos son clases.

Podemos usar distintas determinaciones para llevar a cabo particiones diferentes en el mismo conjunto, por ejemplo la que separa a los números “primos” de los “no primos”, el resultado serán dos subconjuntos diferentes —el subconjunto A formado por los números {2, 3, 5, 7} y el subconjunto B compuesto por los elementos restantes {1, 4, 6, 8, 9, 10}—, pero también disjuntos y complementarios, y ambos serán, siempre, clases.

[3] El símbolo que habitualmente se usa para representar una relación de equivalencia es el signo “=” (igual). Podemos usar este signo para decir que dos miembros de una clase son equivalentes, como hacemos, por ejemplo cuando escribimos “a = b” para indicar que el segmento a es equivalente al segmento b ya que los dos miden lo mismo (ambos pertenecen, por ejemplo, a la clase “segmentos que miden 10 cm de longitud”, y pueden ser sustituidos el uno por el otro en un problema de geometría). Del mismo modo podríamos decir que “leño de algarrobo” = “Stradivarius” (al menos en tanto que miembros de la clase “leña”).

La relación de equivalencia tiene una serie de propiedades interesantes. En primer lugar es una relación reflexiva, es decir, a = a, un elemento es siempre equivalente a sí mismo, pueden ser sustituido por él mismo. Esto puede parecer algo bastante obvio en este caso, pero no todas las relaciones son reflexivas, por ejemplo la relación “mayor que”, no lo es.

La relación de equivalencia es, también, simétrica, lo cual significa que si a = b, entonces b = a. Esta propiedad la posee también, por ejemplo la relación “ser hermano de”, pero no la relación “ser madre de”.

Por último la de equivalencia es una relación transitiva, esto es: si a = b y b = c, entonces a = c. Dos cosas equivalentes a una tercera son equivalentes entre sí.

[4] También podemos decir que una clase es equivalente, por ejemplo, a la unión de otras dos, o a sus sustracción, etc. De manera que si llamamos al conjunto universo U, y lo partimos en dos subconjuntos —pongamos: el subconjunto A al que pertenece todo lo “blanco” y el B al que pertenece todo lo “no blanco”— podemos decir que U = A + B o que A = U – B, y que B = U – A, etc.

[5] La relación de inclusión (que se puede representar simbólicamente como: A < B) también es reflexiva (toda clase está incluida en ella misma A < A) y es transitiva (si A < B y B < C, entonces A < C —por ejemplo, si todos los “champiñones” son “setas”, y todas las “setas” son “hongos” entonces necesariamente todos los “champiñones” serán “hongos”—). Sin embargo, al contrario de lo que ocurre con la relación de equivalencia, es antisimétrica. Esto significa que si A < B, entonces no puede ocurrir que B < A (salvo en el caso de que A = B, es decir, salvo que Ay B sean equivalentes, es decir A= B).

[6] En el sentido inverso estarían relacionadas, justamente, por la relación inversa “estar incluida en”: la clase “champiñón” está incluida en la clase “seta”, y ésta lo está en la clase “hongo”, que lo está a su vez en la clase “ser vivo”, que está incluye en la clase “ser corpóreo”, etc.