Cuando Carl F. Gauss tenía diez años comenzó a recibir sus primeras clases de aritmética elemental. Como ejercicio el maestro solía poner a sus alumnos a realizar largas y monótonas sumas de números como: "1198 + 1396 + 1594 ..." etc. y así hasta, por ejemplo, cien números. Estos ejercicios resultaban tan aburridos porque, en realidad, hasta un niño de diez años podría ver rápidamente y con toda claridad que el resultado de esa suma es 1099900. No es necesario ni siquiera escribir los cien números. Gauss, de hecho, escribió este único resultado y se lo entregó a su profesor que se quedó, no obstante, bastante sorprendido. Gauss no hizo ni una sola operación, sólo la de escribir el número 1099900 en su pizarra y entregársela al maestro. Gauss vio, simplemente, el resultado, de una forma inmediata, lo intuyó. Pero lo que resultaba muy claro para Gauss puede no resultar tan claro para nosotros, para nosotros los hombres (los mortales).

Nosotros tendríamos que ir muchísimo más despacio. Nosotros (los hombres) vemos inmediatamente que esa lista de números puede ser tomada como un todo, que todos pueden ser sumados unos a otros y dar lugar a una pluralidad y ésta ha de poder expresarse con un solo número. Pero nosotros no somos capaces de ver, inmediatamente, ese número en singular.

Nosotros sólo empezaríamos a ver un poco mejor la unidad que forman todos esos números si en lugar de escribir cada uno de los términos de forma singular [1] , escribiésemos la suma así: "1000 + 198 + (1000 + 198 + 198) + (1000 + 198 +198 +198) + ..." etc. Así veríamos que cada número de la serie está construido de la misma forma que los otros: está hecho con un mil y con unos cuantos ciento noventa y ochos. Asociando esos elementos de cierta manera —agregando unos a otros los sumandos entre paréntesis— componemos cada uno de los números singulares que forman la serie que tenemos que sumar a partir de sus elementos —o lo que es lo mismo, los descomponemos en sumandos—. Nosotros podemos habernos dado ya cuenta de esto inmediatamente, incluso sin escribirlo así, sobretodo si estamos muy habituados a trabajar con números, o quizás no; pero desde luego lo que está claro es que es muy difícil no darse cuenta de la manera en que está construida la serie si la escribimos de esta forma. Escribiendo los números de esa manera podemos ver que lo único en que se diferencian es en cuántos ciento noventa y ochos tienen dentro.

Pero si nos fijamos mejor también podemos ver que esos números no están compuestos de cualquier manera, que existe una cierta relación entre ellos no sólo por que todos ellos contienen un mil y un cierto número de cientos noventa y ochos, sino porque el número de estos últimos que contienen no es completamente arbitrario. Esto lo veríamos más claro si escribiésemos la suma así: "(1000 + 1(198)) + (1000 + 2 (198) + (1000 + 3(198)) + ..." etc. Las veces que cada uno de los números de la serie tiene dentro el ciento noventa y ocho depende (por decirlo así) de cuántas veces hayamos añadido ya 198 al primer mil, y cada uno de ellos ocupa un lugar en la serie en función de ese número de veces. Por lo menos vemos claramente que esto es así en los tres primeros términos y, si tenemos la representación singular de cada uno de ellos, podemos, en todo caso, comprobarlo con los demás para asegurarnos bien descomponiéndolos en factores de esta manera. Esos números no forman, pues, un mero montón, sino que tienen un orden.

Incluso si nos diesen todos los números de esa serie de cien descolocados, cualquiera de nosotros sería capaz de ver que —fueran los que fueran, y estuvieran puestos como estuvieran puestos— nunca formaría un mero montón; siempre podríamos encontrar alguna relación entre ellos, aunque fuese sólo la de ser unos mayores o menores que otros. Entonces los podríamos poner en una línea de menor a mayor, por ejemplo, y después podríamos escribirlos de distintas maneras hasta dar con la forma: "(1000 + 1(198)) + (1000 + 2(198) + (1000 + 3(198)) + ..." etc., y ya empezaría a ser muy difícil no darse cuenta de las otras relaciones que existen entre ellos. Si entre esos números hay una relación de orden (aunque sea la de mayor y menor) entonces esos números no son un mero montón, forman una cierta unidad, si esa relación puede expresarse mediante una regla (como la de ser cada número 198 unidades mayor que el anterior) forman lo que los matemáticos llaman una "sucesión".

Puesto que ya vemos que todos esos números forman una cierta unidad, y podemos expresar esto mediante una regla, podríamos intentar representar esa unidad. Cuando buscamos el resultado de esa suma lo que queremos es representar todos los números de esa sucesión de una vez: la unidad singular que todos ellos forman. Pero a la hora de intentar representarnos esa unidad o ese todo constituido por ellos nos encontramos con que nosotros (nosotros los hombres) podemos ver, en todo caso, la unidad singular formada por cada uno de los términos que forman parte de la sucesión que se nos ha dado, y también podemos ver (sobretodo si los colocamos de cierta forma) la forma de la unidad que componen en general (la de una sucesión), podemos ver, incluso, la forma de esa sucesión en particular —la de una sucesión regular, con una diferencia de 198—, pero no podemos ver aún la unidad singular formada por todos ellos, por su suma; no podemos ver inmediatamente ese todo como una unidad singular ni referirnos a él (digámoslo así) por su nombre propio: "1099900". Sabemos que esto no es absolutamente imposible para nosotros, puesto que bastaría con hacer todas las sumas, pero de momento no podemos verlo sin hacer todas las sumas. No obstante sabemos también que ni siquiera es imposible verlo sin hacerlas, nosotros de momento no somos capaces, pero ellos (los niños como Gauss) sí.

Sin embargo, en cualquier caso, lo podemos seguir intentando. Puede ser que si representamos la suma de una manera apropiada lleguemos a ver esa forma singular suya, podemos hacer que salga a la luz —como ocurrió antes con la forma particular de la sucesión, con su regla, cuando analizamos los términos singulares de la serie en sus componentes comunes, en sumandos y luego en factores—.

Aún no hemos conseguido ver claramente el resultado de sumar todos los términos, pero al ver la forma particular de la sucesión que los une sí hemos empezado a ver, cada vez con más claridad, la manera de formar cualquier término de esa sucesión. Si queremos construir el término decimosegundo tendremos que coger un 1000 y sumarle doce veces 198. Para el término decimotercero tendríamos que coger otro mil y sumarle trece veces 198. Para cualquier término de la sucesión tendríamos que hacer lo mismo dependiendo del lugar que ocupase en la misma, de la posición que ocupase en, por ejemplo, la línea sobre la que representásemos la sucesión cuando colocamos sus términos de menor a mayor. Lo particular de esta sucesión es que en cada caso se añade un ciento noventa y ocho más, y que ese número de veces que tenemos que añadir el 198 va —sucesivamente, de forma continua y regular— desde una hasta cien. Podemos representar esta sucesión como la de los números que tienen la forma particular: "1000 + n(198)", donde "n" es un número entre uno y cien o, más bien, cada uno de los números entre uno y cien.

Aquí "n" es, a su vez, el nombre de una sucesión, pero esta sucesión nos es, a todos nosotros, perfectamente conocida. Todos nosotros (nosotros los hombres o, al menos, los hombres europeos con la Educación Primaria) somos capaces de hacernos cargo inmediatamente de la particular relación de orden que existe entre sus términos, entre los números que van, de menor a mayor, del uno al cien. Lo hacemos de una manera completamente intuitiva e inmediata. Si nos presentan una serie de números tales como el 56, 49, 63 vemos inmediatamente su orden de menor a mayor, aunque puede que nos demos cuenta inmediatamente de que su diferencia es igual a 7 o que no. Si nos dan una serie de números como 48, 47, 49, entonces no sólo vemos inmediatamente su relación de orden de menor a mayor, sino que vemos también, y sin tener que pensarlo, que su diferencia es de 1. Si nos dan, pues, la sucesión de los números del uno a cien, en cualquier orden, no tenemos ninguna dificultad para colocarlos de menor a mayor, y para darnos cuenta de si nos falta algún término o no. Por lo tanto, si reducimos la serie de números de la que nos estamos ocupando —la que comienza con el 1198— a la forma que le hemos dado al descomponerla en factores: "(1000 + 1(198)) + (1000 + 2(198) + (1000 + 3(198)) + ..." etc., podremos colocar los términos de manera que se vea con toda claridad si de verdad forman una sucesión continua y regular con una diferencia de 198 o si hay alguno que sobra o que falta, apoyándonos para ello en la intuitividad de la serie de los cien primeros números. También podemos, después, representar el "caso general" de esa sucesión apoyándonos en esta otra sucesión que nos es inmediatamente evidente, la de los cien primeros número naturales, y eso es lo que hacemos al escribirla como: "1000 + n(198)", añadiendo una cláusula que diga que "n" representa precisamente a los cien primeros números naturales.

Pero aunque hayamos llegado a ver así de claro que se trata de una sucesión (en general) y cómo está construida esta sucesión de números (en particular), y aunque supiésemos cómo construir cualquiera de ellos y cada uno de ellos (en singular), lo que seguimos sin ver es cuál sería el resultado de unirlos todos mediante una suma, cuál sería (en singular) la solución a esa tarea de sumar esos cien números.

Nosotros seguimos sin poder ver ese resultado y por mucho que analicemos y descompongamos la forma de la serie de números que tenemos delante seguiremos sin saberlo. La única forma de averiguarlo parece que seguirá siendo (para nosotros) la de ir haciendo, como los otros niños, todas las tediosas operaciones para llegar, al final, a una solución que aquel otro niño habría sido capaz de ver mucho antes, en un instante, (digamos a priori), y que nosotros sólo podríamos llegar a ver después de pasarnos un buen rato haciendo sumas. Pero, además, lo peor es que lo que de verdad pasó entonces fue que sólo Gauss dio el resultado correcto, todos los otros alumnos que hicieron las sumas dieron respuestas equivocadas.

Evidentemente ese niño vio inmediatamente el resultado. Si el maestro le hubiese preguntado cómo lo había obtenido quizás no hubiese sabido qué contestar, de la misma manera en que nosotros no sabríamos qué contestar si alguien nos preguntase cómo sabemos que el 56 va antes que el 57 o que cinco más siete es igual a doce. Ese niño podría haber sido una simple atracción de feria, una especie de monstruo, pero en lugar de eso fue Johann Friedrich Carl Gauss. Gauss, que era un niño bastante formal y con mucho sentido común, consideraba que eso de ver inmediatamente el resultado de enormes operaciones aritméticas tampoco era nada del otro mundo, sobretodo porque cualquier otro podía llegar a ver ese resultado con un poco más de tiempo y de esfuerzo. En realidad lo que le llamaba la atención a Gauss era otra cosa, y por eso se convirtió en matemático en lugar de en mago de feria. Gauss se dio cuenta de que él tenía, a decir verdad, el mismo problema que nosotros (los hombres) sólo que al revés. El veía inmediatamente la solución, pero no sabía cómo había podido llegar a ella. Nosotros no tenemos la solución pero sí tenemos un camino para alcanzarla, que es lo que Gauss no tenía. Porque lo verdaderamente sorprendente es que nosotros mismos, cualquiera de nosotros, es capaz de resolverlo, cualquiera es capaz de llegar a ver el resultado con la misma claridad que Gauss y casi en el mismo tiempo, y de verlo, además, como Gauss, sin necesidad de resolver todas esas sumas. Gauss se dio cuenta de que tenía mucho que aprender de nosotros (los hombres) y por eso se puso a investigar de qué manera resolvemos nosotros ese problema.

 Nosotros (los hombres) hemos visto, en un primer momento, una serie de números singulares distintos, pero luego hemos visto también los elementos que contenía cada uno de esos números. Después nos hemos fijado en la permanencia de ciertos elementos (como el 1000 y el 198) que eran, ellos mismos, números tan singulares como los demás, pero que resultaban ser, al mismo tiempo, factores comunes de todos ellos. Por último hemos visto cómo había otros elementos (como las veces que tenemos el 198 en cada caso) que cambiaban, pero no de cualquier manera sino de una forma no arbitraria, en un orden, según una regla, formando una sucesión. Vimos, por último, cómo esa sucesión podía aparecer simultáneamente como una cierta forma particular de la sucesión en general, de una sucesión que permanentemente nos encontramos en todas partes, que subyace a cualquier serie de números, como es la sucesión de los números que se diferencian unos de otros en una unidad: la sucesión de los números naturales que van del uno al cien, por ejemplo. De esta forma llegamos a poder formular el caso general de esa sucesión, y a partir de él, a poder obtener fácilmente cualquiera de sus miembros, y cada uno de ellos.

Nosotros partíamos de una lista de cien cifras que nos habían dado para que sumásemos: "1198 + 1396 + 1594 ..." etc., pero descubrimos que asociando a un mil unos cuantos ciento noventa y ochos podemos construir cualquiera de esas cifras. Tenemos cien de esas cifras, pero sabemos también que distribuyendo un cierto número de ciento noventa y ochos a un cierto número de miles obtenemos el mismo resultado. Nosotros tenemos, concretamente, cien miles —porque la lista de números que tenemos que sumar es de cien y cada uno tiene dentro un mil— y tenemos que darle a cada mil un ciento noventa y ocho más que al anterior —porque sabemos que cada número se diferencia del anterior en esa cantidad—. Pero si a cada mil le tenemos que dar un ciento noventa y ocho más que al anterior, entonces al primero le damos uno (que no se lo tenemos ni que dar porque ya lo tiene) y al último cien, al segundo le damos dos, y al penúltimo noventa y nueve, al tercero le damos tres y al antepenúltimo noventa y ocho, de manera que si sumamos el primero con el último obtenemos el mismo resultado que si sumamos el segundo con el penúltimo, el mismo resultado que si sumamos el tercero con el antepenúltimo: "(1000 + 1(198)) + (1000 + 100(198)) = (1000 + 2(198)) + (1000 + 99(198)) = (1000 + 3(198)) + (1000 + 98 (198)) ... etc.". Asociando los números de esta otra manera vemos ahora que la sucesión tiene una forma simétrica. Si partimos la sucesión que tenemos que sumar en cincuenta partes como éstas, en cincuenta parejas de números que ocupan posiciones simétricas en la sucesión, vemos que el resultado de sumar los componentes que hemos asociado para formar cada una de esas partes es igual al resultado de sumar los de cada una de las otras. Por lo tanto, ahora, en lugar de hacer cien sumas, bastaría con que hiciésemos cincuenta. Pero, claro, como esas sumas dan todas el mismo resultado, bastaría con que hiciésemos una cualquiera de ellas, por ejemplo la primera, y la multiplicásemos por cincuenta (que es, además, la mitad del número de términos que tenemos que sumar), por lo tanto podríamos escribir ahora la suma así: "(1198 + 20800) 50",  o bien: "(1198 + 20800) 100/2". Si lo escribiésemos de esta manera, hasta a nosotros mismos nos empezaría a parecer posible ver el resultado de esa suma con su forma singular: "= 1099900".

En realidad lo único que hemos hecho es darnos cuenta de que la suma en cuestión tenía una cierta forma, una forma simétrica. Esto lo hubiésemos visto en seguida si la suma hubiese sido más corta. Si tenemos, por ejemplo, "1+2 = 3" vemos inmediatamente que eso es lo mismo que "2+1 = 3", y que podemos conmutar los términos como queramos. Si tenemos: "1+2+3 = 6" también lo podemos escribir como "1+3+2 = 6" o como "(1+3) + 2 = 4 + 2 = 6" conmutando y asociando los términos de esa manera. Si tenemos "1+2+3+4 = 10" vemos en seguida que eso mismo lo podemos escribir así: "(1+4) + (2+3) = 5 + 5 = 2 (5) = 10" conmutando asociando y distribuyendo los números de esa forma. Dedicándole el suficiente tiempo a lo mejor alguno de nosotros se acabaría dando cuenta de que todas esas sumas tienen la misma forma, aunque cada una de ellas sea una sucesión particular de números y todas ellas tengan un resultado singular único. Podemos darnos cuenta —o no— de que si cogemos el primer y el último miembro de la serie, y los sumamos, y después multiplicamos el resultado por el número de términos de la serie y lo dividimos por dos, obtenemos la suma de toda la serie, por ejemplo: "(1+4)4/2 = 10 = 1+2+3+4". A partir de aquí podemos tratar de probar la hipótesis de que cualquier serie que tenga la misma forma puede sumarse de la misma manera. Esto quiere decir que todas esas sucesiones tienen la misma forma universal, todas pueden ordenarse por parejas de términos simétricos sumando cada uno de los cuales obtenemos un mismo resultado. Podemos representar esta forma universal —que ya no es la de una sucesión particular sino la de cualquier suma de una "progresión aritmética"— con una expresión que sirva para todas las sucesiones particulares; esto es lo que llamamos una "fórmula". En este caso la fórmula sería: "S_n= (a₁ + a_n ) n / 2" —aunque podrían darse otras formulaciones de esta misma fórmula, de esa forma universal—.

Sin embargo, no deja de ser curioso el que no haya ningún procedimiento completamente seguro para encontrar esta fórmula o cualquier otra que se le parezca. A alguien se le tiene que ocurrir. Por mucho que ha avanzado la matemática lo que no ha conseguido es un procedimiento mecánico para construir fórmulas; todo sigue dependiendo de que alguien coloque los símbolos de cierta manera y caiga en algo. Pero, sin embargo, basta con que se le ocurra a uno para que ya todo nosotros (nosotros los hombres) podamos, por ejemplo, sumar progresiones aritméticas con esa fórmula, para siempre. Muchos de nosotros conocemos esta fórmula y nos basta con saber que algo es una progresión aritmética para que inmediatamente sepamos cómo sumarla. Ellos (los niños que son como Gauss) normalmente no la conocen, a no ser que (como nosotros, hayan recibido Educación Secundaria). Gauss no conocía esta fórmula que era la que su profesor usaba para no tener que realizar él mismo todas las operaciones que mandaba hacer a sus alumnos y poder comprobar más fácilmente los resultados. Lo que sorprendió a su maestro no fue que Gauss obtuviese el resultado tan rápidamente, fue que hubiese podido hallar el resultado sin conocer la fórmula. Pero en realidad esto es como si uno se sorprendiese de que las piedras caigan siempre de la misma manera sin que hayan oído nunca hablar de Galileo. Gauss era perfectamente consciente de que lo único que eso demostraba era que él era un animal matemático, pero, ni mucho menos, que fuese un animal racional, porque él conocía los resultados, pero no la razón por la cual esos resultados eran los correctos, sabía que lo eran, pero no sabía por qué.

En realidad eso fue lo que marcó verdaderamente la carrera de Gauss. Una vez que conoció la fórmula se dedicó, desde entonces, a investigar por qué era correcta, por qué esos resultados que daba eran verdaderos, y consiguió fundamentar sólidamente toda la teoría de las sumas de sucesiones, incluso de la suma de sucesiones infinitas —o al menos de las sucesiones convergentes sobre la que se había estado basando el análisis (sin ser capaz de verlo) desde sus comienzos—.

Gauss tenía el resultado, pero nosotros teníamos algo mucho mejor, su forma. Gauss se dedicó a tratar de aprender de nosotros esa forma, no la forma singular de nuestras sumas, ni la forma particular, y ni siquiera la universal, sino la forma —digamos— estructural de todas nuestras sumas. Gauss fue también unos de los principales sistematizadores de la Teoría de Números.

3. Lo que tenemos en común nosotros y ellos.

  Nosotros sabemos formar cada término de una progresión aritmética cuando conocemos su diferencia, pero no sabemos formar el todo singular que forman todos ellos: su suma, a no ser que recurramos a una fórmula que nos ayuda a ver la solución singular al problema. Esa es la única manera de solucionar de una vez (sin hacer todas las sumas) el problema. ¿Pero cómo es posible esto?

Es verdad que nosotros podríamos, en cualquier momento, formar una única expresión que fuese el nombre de ese todo que buscamos, si formásemos, por ejemplo, una cadena con todos los nombres singulares de los elementos que componen esa sucesión particular unidos por el signo: "+". Pero ese no sería su nombre propio y singular, porque podría haber también otras sucesiones de números que sumadas diesen el mismo resultado y no incluyesen ninguno de esos números singulares.

Podríamos, sin embargo, formar una expresión para nombrarlo que consistiese en una cadena formada por todos esos números singulares que nos han dado descompuestos en sus factores comunes, una expresión que recogiese así la forma particular de esa sucesión. Pero ese tampoco sería su nombre propio, porque esos mismos números podrían asociarse y distribuirse de muchas otras maneras.

 Sabemos, por ejemplo, que todos esos números están compuestos de miles y de ciento noventa y ochos, pero sabemos además que esos componentes —como todos los números del sistema decimal— están, a su vez, compuestos de dieces y/o de partes de dieces. Todos pueden descomponerse en esos elementos. El número 1198, por ejemplo, sería equivalente a ocho partes de diez, más nueve dieces, más diez decenas de dieces más, más diez decenas de decenas de dieces: "1 (10 (10 (10)) + 1(10(10)) + 9 (10) + 8". El número 1396 equivaldría a "1 (10 (10 (10)) + 3(10(10)) + 9 (10) + 6". Descomponiéndolos en estas partes nos sería más difícil ver que forman parte de una sucesión con una diferencia de 198, pero de esta manera nos sería, en cambio, mucho más fácil ver que la suma de esos dos números es igual a 2594, al resultado de sumar unidades con unidades, decenas con decenas, y centenas y millares con centenas y millares. Veríamos con más dificultad las relaciones que existen entre ellos, pero con más claridad su carácter de agregados, sus propiedades meramente cuantitativas.

Esto es así porque en nuestro sistema numérico se asigna un lugar distinto, representado por una posición materialmente distinta sobre una línea, a cada una de estas unidades: a las cantidades de millares, de centenares, de decenas o de unidades que tengamos. Se les asigna un lugar sucesivo de mayor a menor y al formar cada expresión singular se prescinde del símbolo de la multiplicación, del símbolo "x" —como suele hacerse en el álgebra— y también del símbolo "+". Se representan únicamente de forma explícita los coeficientes por los que se ha de multiplicar la base del sistema de numeración elevada a distintas potencias: "1(10)³ + 1(10)² + 9 (10)¹ + 8(10)⁰", y —excepcionalmente— se prescinde también de la representación explícita del signo "+" para representar el carácter de sumandos de cada uno de los elementos, para representarla únicamente mediante su posición: "1198". Cuando nosotros vemos una cifra, entendemos inmediatamente que representa, singularmente, una sucesión de números compuesta de esta manera tan complicada, que es sólo un caso particular de representación de una cantidad en sistema decimal. Afortunadamente no tenemos que pararnos a pensarlo, simplemente intuimos, no ciertamente el número singular del que se trata —como si intuyésemos 1198 unidades todas clara y distintamente a la vez—, pero sí el número particular al que nos estamos refiriendo, y las relaciones particulares —por ejemplo de orden— que ese número tiene respecto a otros, y por eso lo consideramos como una representación adecuada de ese conjunto singular de unidades (de esos 1198 puntitos). También vemos inmediatamente que el número 1198 es menor que el 1396, porque vemos inmediatamente que este último contiene los mismos miles, pero también dos cientos más, tiene las mismas decenas y, aunque tenga dos unidades menos, la cantidad singular a que nos estamos refiriendo sabemos que es mayor, porque si sumásemos todos eso obtendríamos un número mayor de unidades —aunque, a lo mejor, no seamos aún capaces de ver inmediatamente cuántas—.

Si no podemos ver inmediatamente cuántas unidades suman es porque se trata de partes homogéneas pero que no se pertenecen unas a otras necesariamente, sino de manera arbitraria, a causa de la arbitrariedad de que estemos contándolas en un sistema decimal [2] . Si embargo nuestros compuestos serían igual de arbitrarios eligiésemos el sistema numérico que eligiésemos y tomásemos la base que tomásemos, aunque fuese el sistema binario. En todo caso tendríamos que asociar y distribuir nuestras unidades de alguna manera, siguiendo un patrón, que tendría que ser elegido arbitrariamente o por conveniencia.

La ventaja del sistema decimal (o de cualquier sistema análogo) es que, a cambio de tener que aprenderlo, nos ofrece los números descompuestos automáticamente en dieces, de manera que nos facilita mucho la tarea de sumar unidades con unidades, decenas con decenas, y decenas de decenas (centenas) con decenas de decenas (centenas) etc., puesto que estos ocupan siempre lugares distintos dentro de cada sumando, pero comunes en todos los sumandos simultáneamente, lo cual nos permite identificarlos con facilidad [3] .

Si situamos todos los elementos sobre una misma línea nos es relativamente fácil ver, de manera inmediata, el resultado de esta suma en particular: "1(10)³ + 1(10)² + 9 (10)¹ + 8(10)⁰ + 1(10)³ + 3(10)² + 9 (10)¹ + 6(10)⁰ = 2(10)³ + 5(10)² + 9 (10)¹ + 4(10)^0" esto lo podríamos expresar singularmente como: "2594".

 Pero si quisiéramos representar el proceso (en general), el procedimiento por el que llegamos a la solución no de forma singular, sino exponiendo la forma particular de la ordenación que damos a los números para componerlos —independientemente de la base que arbitrariamente hayamos elegido para hacerlo— podríamos representarlo de una manera a la que también estamos relativamente acostumbrados (al menos nosotros, nosotros los hombres que recibido Educación Secundaria). Esa sería, por ejemplo, la forma de un "polinomio". El primer número sería equivalente al polinomio: "x³ + x² + 9 x + 8" —donde "x" es igual a 10— el otro sería igual a: "x³ + 3x² + 9 x + 6". Con estos dos polinomios podríamos formar una ecuación: "x³ + x² + 9 x + 8 + x³ + 3x² + 9 x + 6 = y", de manera que resolviendo esta ecuación particular, obtendríamos el resultado singular que buscamos. Esto sería igual a: "2x³ + 5x² + 9 x + 4 =y" con lo cual, sustituyendo la x por su valor: el factor común 10, nos daría que "y = 2(10)³ + 5(10)² + 9 (10) + 4", y por lo tanto que "y = 2594".

Esto es lo que hacemos cuando sumamos, independientemente de la base que, arbitrariamente, hayamos decidido usar y del tipo de unidades que empleemos [4] .

Sin embargo nosotros no lo hacemos, habitualmente de esta forma, o mejor dicho, nuestras sumas no tienen esa pinta, no tienen esa figura. No tienen ese aspecto porque además, si se tratase de cifras muy largas nos iría siendo cada vez más difícil ver el resultado de su composición si las pusiésemos todas así, sobre una sola línea. Nosotros no tratamos las sumas habitualmente como ecuaciones, o al menos nos es más difícil ver así la solución si la desplegamos en una única dimensión con la forma de un mero agregado de dieces y de partes de dieces (e incluso de partes de partes de dieces). Nos es mucho más fácil verlo si la desplegamos en dos dimensiones: si situamos un sumando debajo del otro en posiciones cualitativamente opuestas, pero cuantitativamente equivalentes, cuyos lugares hacemos concordar situando las unidades bajo las unidades, las decenas bajo las decenas, etc., pero respetando las relaciones posicionales de los números que representan a cada una de estas unidades (unidades, decenas, centenas) y agrupándolas verticalmente en función de su "grado" —del grado al que esté elevada en cada caso la base, el diez—. Después sumamos sólo los coeficientes correspondientes a las unidades que tienen el mismo grado de arriba a abajo, teniendo la seguridad de que sumamos, en todo caso, unidades (digamos) cualitativamente homogéneas, unidades que concuerdan entre sí.

Esta operación, que así descrita puede parecer algo complicado no es más que una descripción de uno de los algoritmos que nosotros (los hombres europeos con la Educación Primaria) usamos habitualmente para sumar números. Cuando se trata de cifras muy largas a menudo nos es difícil ver de un solo golpe de vista el resultado con los sumandos puestos en una sola dimensión, lo que hacemos es construir una cierta estructura que haga más visibles las identidades y las diferencias, las concordancias y las oposiciones, y que nos permita comparar los elementos en la intuición de una forma más eficaz —en este caso mediante una figura espacial o bidimensional: la del algoritmo de la suma—. Lo mismo podríamos hacer utilizando un ábaco, o pintando rayas verticales para cada unidad y tachando cada diez unidades con una raya horizontal, como hacen los presos en las cárceles. En cualquier caso nos servimos de una diferencia cualitativa para representar una diferencia que es estrictamente cuantitativa, o de la cual sólo nos interesa ese aspecto. Pero servirnos de ciertos aspectos cualitativos de la forma misma en que podemos expresar esas cantidades nos ayuda a hacer visible con mayor inmediatez el resultado de la composición que queremos llevar a cabo, y a localizar con más facilidad los errores que hayamos podido cometer. Construimos una máquina de sumar, una máquina gráfica.

 En realidad podríamos construir otros mecanismos para hacer lo mismo. Quizás uno de los más elementales sería una tabla. Podríamos pensar cada número del uno al diez como un punto de una línea, como un término de una sucesión de diez números, y representar esa línea horizontalmente. Después podríamos pensar al mismo tiempo cada número del uno al diez de esa sucesión como un término de una sucesión de diez términos o como un punto de una línea pero situada ésta en vertical. Así tendríamos una especie plano formado por números que tendría la forma de un cuadrilátero. Si recortásemos un cuadrado de ese cuadrilátero tendríamos: ¡una tabla de sumar! Podríamos hacer esa misma tabla para todos los números del uno al cien. Para localizar en ella el resultado de una suma de dos números de dos cifras no tendríamos más que buscar el punto en el que esas dos líneas, vertical y horizontal, que comienzan con cada uno de los números que queremos sumar se cruzan sobre esa tabla de cien líneas y cien columnas, y veríamos allí, inmediatamente, el resultado.

Esto es, más o menos, lo que hacemos con los números del uno al diez, cuya tabla de sumar ni siquiera tenemos que aprendernos, porque sabemos de una forma inmediata y sin tener que consultarla que, por ejemplo, 5+7 es igual a 12. Pero detrás de esa inmediatez hay un trabajo constructivo muy complicado, hay una estructura complejísima. No obstante, para sumar números mayores de diez lo que hacemos es tomar esa tabla de sumar números del uno al diez y usarla como —digamos— esquema de cualquier cantidad, proyectando sobre ella las cantidades mayores que diez reducidas a ese "módulo", de manera que queden sólo sus restos (los restos de dividir por 10 las cantidades que tengamos, por ejemplo 12, dividido por diez da de resto 2, en cambio 112 da de resto 12, pero 12 dividido por 10 da de resto 2). Hacemos esto mismo una y otra vez, dividimos por nuestro módulo hasta que filtramos todos los dieces que tenemos que "llevarnos" —cada uno a su posición— y después nos cuidamos de mantener separados los resultados de sumar los restos (irreductibles a dieces) las partes de diez, y de colocarlas en las posiciones precisas a donde "nos hemos llevado" antes las decenas o las centenas. Todo esto lo hacemos mecánicamente mediante los algoritmos correspondientes y las reglas posicionales de nuestro sistema numérico, y tenemos tan asimilado ese mecanismo que a veces nos parece enteramente "natural".

Incluso los que no siempre vemos con toda claridad el resultado de sumar un número de una cifra y uno de dos, sí solemos ver inmediatamente el resultado de sumar dos números de una cifra. Si no, siempre tenemos los dedos que, precisamente para eso son diez. En realidad basta con eso y con unos cuantos garabatos para llegar, con el tiempo, al mismo sitio que Gauss y que cualquier matemático (al menos si se trata de sumar). No obstante cuando el número de posiciones es mayor de diez empieza a ser dificultoso trabajar con los sistemas de representación a los que nosotros (los Bachilleres) estamos acostumbrados. Entonces esos otros nosotros (esos nosotros que tienen una Educación Superior en el terreno de las Ciencias) suelen usar para cantidades grandes la "notación científica" que se basa, explícitamente, en las potencias de diez. Así se pueden sumar cosas grandísimas y casi sublimes. Pero todo esto no son sino diferentes maneras de hablar o de escribir, y el mecanismo es siempre el mismo, lo haga un superordenador o lo haga un pollero.

Un caso distinto es el de ellos (esos nosotros que son como Gauss). Muchos de nosotros no somos capaces de ver inmediatamente los resultados de sumar números de más de dos cifras y tenemos que coger lápiz papel. Algunos necesitan menos ayuda y pueden ver con facilidad el resultado de sumar varios números de más de tres, o de cuatro cifras. Ellos (los niños como Gauss) parece que lo pueden hacer con números de casi cualquier número de cifras y es, más o menos, como si tuviesen a la vista una inmensa tabla de sumar y les bastase con mirar a un lado o a otro de esa tabla. Pero, en realidad, parece como si ellos no necesitasen ni siquiera recurrir a este tipo de esquemas y a esas proyecciones bidimensionales, sino que se limitasen a ver el resultado, y es difícil pensar cómo pueden verlo en alguna parte. De hecho les puede llegar a ser muy difícil conseguir verlo en algún sitio, verlo de alguna forma, no verlo como un todo, es decir: poder expresar de alguna manera cómo podríamos nosotros también llegar a verlo. Sólo aquellos de ellos que son, además, grandes matemáticos (y no los magos de feria) consiguen eso, solo ellos (los niños que son como Gauss).

Otro gran matemático, Evariste Galois, tenía enormes dificultades en su juventud, precisamente por eso, para conseguir explicar a la gente cómo había llegado a sus resultados. De hecho en la Escuela Politécnica de París —donde estudiaron todos los grandes matemáticos de la época en que vivió, principios del XIX— suspendió dos veces el examen de ingreso, porque que él veía con total claridad las respuestas, pero, a veces, ni el mismo podía decir cómo, y simplemente no sabía qué hacer con la tiza y con el borrador, de manera que acabó tirando este último a la cabeza de uno de los jueces y fue suspendido por última vez, perdiendo toda opción de volver a examinarse. Galois murió muy joven y no pudo aprender del todo a ver las cosas como las personas normales (queremos decir mortales). Otro caso distinto fue el de Poincaré, que fue uno de los mayores geómetras de la historia y el mayor sistematizador de la Topología, pero que también estuvo a punto de ser expulsado de la Escuela Politécnica porque era incapaz de dibujar, estuvo a punto de sacar un cero en dibujo, y eso significaba la expulsión inmediata de la escuela. Todos sus maestros reconocían, no obstante, que era un genio, pero era incapaz de hacer la o con un canuto —literalmente—. Naturalmente la fidelidad mimética del dibujo es algo que no tiene mucha importancia en el caso de la Topología, y quizás por eso mismo Poincaré acabó dedicándole su tiempo, pero si alguien quiere darnos clase de Geometría le agradeceríamos mucho que pintase bien las figuras en la pizarra para que nosotros podamos ver algo, a pesar de que todos sepamos que son sólo figuras, y no las formas mismas a las que representan. Poincaré nunca aprendió a dibujar, pero sí a expresarse por escrito con tanta corrección y de una manera tan clara que acabó siendo elegido miembro de la Academia Francesa en la sección de literatura, honor muy poco habitual para un científico y con el que demostró que hay muchas maneras de explicar y de hacer ver las cosas, y que no todas ellas pueden ser dibujadas en un papel o incluso representadas con una figura o con un algoritmo.

Lo que tenemos en común nosotros y ellos (los niños que son como Gauss, como Galois, o como Poincare) es que, aunque parezca imposible, podemos llegar a entendernos; aunque sea gracias a las formulas. Nosotros los hombre podemos encontrar maneras de hacer cosas que parecían imposibles, podemos encontrar maneras de resolver problemas que parecían insolubles, y formas cada vez más eficaces y más sencillas de resolver problemas que parecían complicadísimos. Esto hace nacer en nosotros una cierta esperanza en que tal cosa acabe ocurriendo también en otro terrenos como el de la política y el de la moral. Esta esperanza es la fe en eso que llamamos la Ilustración.

En la Alemania del siglo XVIII apareció una corriente que se denominó después "rigorismo". El rigorismo se caracterizaba por una interpretación puramente formal de las leyes, por una cierta desconfianza hacia la sensibilidad a la hora de interpretarlas y por una tendencia a la expresión de los principios según los cuales debían llevarse a cabo ciertas operaciones mediante fórmulas, mediante expresiones a las que se pudiese dar una forma universal. El carácter descarnado y poco intuitivo de las fórmulas y la dificultad para ver con claridad a través de ellas cómo algo que puede estar muy bien en el plano de la teoría, pero que es puramente formal, puede valer también para la práctica, y ayudarnos a resolver problemas reales, fue lo que hizo que el rigorismo, desde el principio, se encontrase con muchas dificultades en el ámbito mundano e incluso académico. Pero lo que consiguió sacarlo adelante fue que su interpretación del carácter puramente formal, a veces antiintuitiva, pero no por ello menos racional, de las leyes acabó siendo la única lectura que podía resultar verdaderamente digna de las esperanzas de solidez racional que la Ilustración había despertado. Hasta el siglo XIX el rigorismo no comenzó a ser aceptado, y sólo bien entrado ese siglo consiguió finalmente imponerse como la única posible interpretación de las leyes (al menos la única accesible para nosotros los hombres, y hasta para ellos, los niños que no son como Gauss). Hoy en día a nadie se le ocurre interpretar una ley matemática, o una fórmula de otra manera que no sea rigorista, pero en los tiempos anteriores a la Ilustración esto planteaba aún muchas dificultades debido al carácter supersticioso y místico que se daba a muchas entidades matemáticas. El iniciador de esta corriente de exigencia de rigor que acabó por transformar y ampliar enormemente todo el horizonte del pensamiento matemático fue Johann Friederich Carl Gauss, y su mayor representante fue Cauchy que acabó de sistematizar todas esas nociones que el Análisis Matemático, o el Cálculo, llevaba usando desde los tiempos de Newton de una manera más o menos confusa; todas esas nociones que hacían sonar la flauta, pero por casualidad. Sólo con Gauss y con Cauchy, las definiciones de "sucesión", "convergencia" y "límite" adquirieron un carácter verdaderamente riguroso, no porque ellos fuesen capaces de hacerlas más intuitivas o de contarlas con más gracia y con más vivacidad, sino porque sólo ellos fueron capaces de explicárselas a ellos mismos y hasta de explicárnoslas a nosotros (incluso a nosotros los tontos) con la suficiente claridad formal. Uno no puede dejar de sentir cierto respeto por estos personajes, al menos en ese respecto, aunque en otros dejasen bastante que desear, y ni Gauss ("el príncipe de las matemáticas") ni Cauchy (el que fue tutor del heredero de Carlos X) estuvieran, en muchos aspectos, a la altura de su capacidad para la matemática, en otros terrenos tales como la política e incluso la moral. Pero, al fin y al cabo, tampoco ellos eran ángeles.

Lo único que tenemos, pues, nosotros y ellos en común son unas leyes que ni nosotros ni ellos nos hemos inventado y de las que ni siquiera podemos considerarnos coautores; porque lo único que nosotros hacemos con ellas es imponerles ciertas figuras arbitrarias, unas figuras que no agotan las muchas figuras que pueden darse a un mismo esquema, y ni siquiera las muchas maneras de esquematizarse que ha de tener, para nosotros los hombres, la pura forma de esas leyes, que se dicen de muchas maneras. Podemos encontrar muchos sistemas de numeración y usar módulos más o menos grandes o pequeños, y podemos encontrar muchas fórmulas con las cuales expresar de forma universal eso que nuestras formulas no pueden agotar. Sin embargo eso no significa que una fórmula (sea la que sea) no nos pueda llevar hasta un resultado y no consiste en llevarnos siempre con exactitud hasta él, y sea lo único que nos permite encontrar el camino para llegar al resultado (como nos suele pasar a nosotros en teoría y a ellos en la práctica) o incluso para saber por qué el resultado debe ser ése y no otro (aunque no sepamos por qué, como les pasa a ellos en teoría y a nosotros en la práctica). No obstante tampoco es imposible que lleguemos algún día a tener algo más en común con ellos, unas leyes de las que todos podamos considerarnos también coautores, pero cuya forma apenas somos capaces, todavía de vislumbrar, a pesar de que su fórmula esté desde hace tiempo bastante clara y pueda ya, y para siempre, servir para resolver problemas en esos terrenos tan complicados como son los de la política y sobre todo la moral. En efecto, no deja de ser curioso que en el prólogo a la Crítica de la razón práctica Kant responda a una crítica a su obra con las siguientes palabras: "Un crítico que quiso decir algo como censura de este trabajo (la Fundamentación de la Metafísica de las Costumbres), ha acertado más de lo que él mismo hubiera podido creer, diciendo que en él no se expone ningún principio nuevo de la moralidad, sino sólo una fórmula nueva. Pero ¿quién querría introducir un nuevo principio de toda moralidad e inventar ésta, como quien dice, por primera vez? ¡Como si, antes de él, el mundo hubiese vivido sin saber que sea el deber o en error constante sobre este punto! Pero el que sabe lo que para el matemático significa una fórmula que determina con toda exactitud y sin error lo que hay que hacer para resolver un problema, ése no considerará que una fórmula que hace eso mismo en consideración de todo deber en general sea algo insignificante y superfluo" [5] . Ciertamente, cuando se acusa a la moral Kantiana de "rigorista" se acierta también mucho más de lo que pudiera parecer, porque, al fin y al cabo ésta no parte sino del convencimiento de que cualquiera de nosotros sabe siempre inmediatamente lo que debe hacer con tanta claridad como sabía Gauss con diez años el resultado de sumar cualquier serie de números, aunque no sabe cómo —como él—, y por eso incluso él mismo llega a dudar de ello. Eso sólo se puede evitar buscando una fórmula que nos haga ver con mayor claridad a todos eso mismo que cada uno de nosotros ya vemos "en nuestro corazón" —según otra conocida expresión kantiana—, y también fundamentando esa fórmula, sacando a la luz la estructura misma en la que se asienta de la manera más rigurosa posible, por abstracta, difícil y extensa que pueda llegar a ser. Así, aunque pueda ser una casualidad que nosotros tengamos diez dedos o que nos muramos cada cien años, lo que no es casual es que nuestros sistemas numéricos y nuestros sistemas políticos y hasta morales hayan de tener una forma y que pueda haber formas más o menos apropiadas para seres que tienen diez dedos, o no viven más de cien años o son (aunque sea en un grado finito) seres racionales, formas que sólo podemos descubrir encontrando los modelos, los esquemas, las estructura, las fórmulas con las cuales éstos seres puedan sacarle más partido a sus vidas por limitadas que sean, y pasarse, por ejemplo, menos tiempo haciendo cuentas y más jugando en el patio. A eso le podemos llamar, ciertamente, "rigorismo".